Υπήρχε μεγαλύτερη φαντασία στο κεφάλι του Αρχιμήδη απ’ ό,τι στου Ομήρου.

Βολταίρος

 

 

Δεν γνωρίζω πώς ο Βολταίρος μέτρησε τη φαντασία στο κεφάλι του Όμηρου και του Αρχιμήδη και βρήκε αυτή του δεύτερου μεγαλύτερη. Παραθέτω όμως κάποια γεγονότα μέσω των οποίων μπορούμε να κρίνουμε.

 

1. Όμηρος: Ραψωδία μ της Οδύσσειας

 

Όπως λέγεται ότι κάποιος ποιητής βρίσκεται σε ‘ποιητική διάθεση’, έτσι λέγεται ότι ο Όμηρος βρίσκεται σε ‘μαθηματική διάθεση’ όταν γράφει τη ραψωδία μ της Οδύσσειας, όπου αναφέρει:

 

Στη Θρινακία θα φτάσεις έπειτα· τ’ αρνιά του Ήλιου βόσκουν
σε τούτο το νησί τα ολόπαχα και τα πολλά γελάδια·
κοπάδια εφτά γελάδες, πρόβατα κοπάδια εφτά· πενήντα
μετρά κεφάλια το καθένα τους·

[Όμηρος, Οδύσσεια μ, 127 κ.ε.].

 

Εδώ έχουμε, πρώτο, την παρουσίαση του αριθμού επτακόσια (700) ως (7+7)x50, η οποία θεωρείται ευρηματική και ποιητική. Δεύτερο, έχουμε τη γεωμετρική αφαίρεση του σχήματος της Σικελίας ως τριγώνου.

 

Εν προκειμένω ο Στράβων λέει: 

 

῎Εστι δ’ ἡ Σικελία τρίγωνος τῷ σχήματι, καὶ διὰ

τοῦτο Τρινακρία μὲν πρότερον, Θρινακία δ’ ὕστερον

προσηγορεύθη μετονομασθεῖσα εὐφωνότερον˙ τὸ δὲ

σχῆμα διορίζουσι τρεῖς ἄκραι˙

[Στράβων, Γεωγραφικά, βιβλίο 6, κεφ. 2, ενότητα 1].

 

Εξαιτίας αυτού, το ‘Θρινακία’ που αναφέρει ο Όμηρος συνεπάγεται τρεις άκρες (Τρινακρία) και παραπέμπει στο τρίγωνο, γι’ αυτό μεταφράζεται κατευθείαν ως ‘τριγωνικό νησί της Σικελίας’.

 

Πέντε αιώνες αργότερα, εμπνεόμενος από τους στίχους αυτούς, ο Αρχιμήδης στέλνει στον Ερατοσθένη ένα πρόβλημα γραμμένο σε ποιητική μορφή, με το οποίο προκαλεί τους σοφούς της Αλεξάνδρειας. Το θέμα αυτό είναι γνωστό ως ‘Βοεικό Πρόβλημα’.

 

2. Αρχιμήδης: ‘Βοεικό Πρόβλημα’

 

Ο αρχαίος κόσμος παρέχει ποιητικά παραδείγματα αυτού που ο Pablo Neruda ονομάζει «η δίψα να μάθεις πόσα». Ενδιαφέρουσα περίπτωση αυτού του φαινομένου είναι το ‘Βοεικό Πρόβλημα’ του Αρχιμήδη. Ο Αρχιμήδης θέτει αυτό το πρόβλημα σε στίχους και υπό τη μορφή επιγράμματος στους μαθηματικούς της Αλεξάνδρειας σε μια επιστολή που στέλνει στον Ερατοσθένη από την Κυρήνη για να αναζητηθεί η λύση από εκείνους που ασχολούνται µε τέτοια προβλήματα: πρόβλημα ὅπερ Αρχιμήδης ἐν ἐπιγράµµασιν εὑρὼν τοῖς ἐν ᾿Αλεξανδρείᾳ περὶ ταῦτα πραγµατευοµένοις ζητεῖν ἀπέστειλεν ἐν τῇ πρὸς ᾿Ερατοσθένην τὸν Κυρηναῖον ἐπιστολῆ.

  

Σε είκοσι δύο ελληνικά ελεγειακά δίστιχα (συνολικά 44 στίχοι), το ποίημα ζητά τον συνολικό αριθμό βοοειδών -λευκούς, μαύρους, ποικιλόχρωμους και ξανθούς- ταύρους και αγελάδες, που ανήκουν στον θεό του Ήλιου, και υπόκεινται σε διάφορους αριθμητικούς περιορισμούς. Οι περιορισμοί μπορούν να χωριστούν σε τρία σύνολα. Τα δύο πρώτα σύνολα περιορισμών, που αποτελούνται από συστήματα γραμμικών εξισώσεων, θέτουν ορισμένες, όχι ανυπέρβλητες, δυσκολίες. Το πρόβλημα με αυτά τα σύνολα περιορισμών τέθηκε ως πρόκληση˙ μπορεί να λυθεί στις μέρες μας χρησιμοποιώντας Γραμμική Άλγεβρα. Το ποίημα του Αρχιμήδη λέει:

Το Βοεικό Πρόβλημα του Αρχιμήδη

 

Το πλήθος των βοδιών του Ηλίου, ξένε, μέτρησε

µε φροντίδα επισταμένη, αν μετέχεις της σοφίας,

που κάποτε βοσκούσαν στης Σικελίας τις πεδιάδες,

στης Θρινακίας το νησί, σε τέσσερα κοπάδια χωρισμένα

ανάλογα µε τη χροιά τους˙ το ένα λευκό σαν γάλα ήταν,

το άλλο κατάμαυρο έλαμπε στιλπνό,

το τρίτο ήτανε ξανθό και το άλλο παρδαλό. Μα στο κάθε

κοπάδι ταύροι ήτανε πολλοί στον αριθμό

κι αυτή τη συμμετρία είχανε πετύχει:

 

Οι λευκότριχοι μισοί από τους μαύρους ήτανε κι ένα ακόμα τρίτο

συν όλους τους ξανθούς, ξένε, φαντάσου.

Όμως και οι μαυρότριχοι το ένα τέταρτο μέρος

των παρδαλών, μαζί µε το ένα πέμπτο, συν όλους πάλι τους ξανθούς.

Πρόσθεσε όμως και τους παρδαλούς που υπολείπονται

να είναι το ένα έκτο των λευκών, μαζί µε το ένα έβδομο,

κι όλοι μαζί να είναι ίσοι µε όλους τους ξανθούς.

Τα θηλυκά τώρα γελάδια έτσι είχαν: τα λευκά από τη µια

ήταν της μαύρης αγέλης ολόκληρης

ακριβώς το ένα τρίτο και το ένα τέταρτο.

Τα µαύρα από την άλλη µε το ένα τέταρτο, πάλι,

των παρδαλών μαζί µε το ένα πέμπτο ήταν ίσα,

σαν έβγαιναν όμως όλα µε τους ταύρους στη βοσκή.

Με το ένα πέμπτο τώρα μαζί µε το ένα έκτο της ξανθιάς αγέλης

ήταν τα παρδαλά ισάριθμα στο πλήθος.

Και των ξανθών ο αριθμός ίσος µε το μισό του τρίτου

της λευκωπής αγέλης ήταν μέρος, μαζί µε το ένα έβδομο.

 

Άμα μπορείς, ξένε, να πεις πόσα ήτανε του Ήλιου τα γελάδια

ακριβώς, των ταύρων των θρεμμένων από τη µια,

µα και των αγελάδων, πόσες στο χρώμα ήταν,

ανόητο και αμαθή στους αριθμούς δεν θα σε πουν,

µα ούτε στους σοφούς θα σε συγκαταλέξουν.

 

Όμως, εµπρός, εξέτασε κι αυτά ακόμα τα στοιχεία για του Ήλιου τα βόδια.

Κάθε φορά που τα λευκότριχα ανακατεύονταν στων μελανών

το πλήθος, στερεό σχήμα έφτιαχναν ισόμετρο

σε πλάτος και σε βάθος, κι όλες οι αχανείς πεδιάδες

της Θρινακίας γέμιζαν µε αυτό το τετραγωνισμένο πλήθος.

Μα αν πάλι συγκεντρώνονταν μαζί ξανθά και παρδαλά

σχημάτιζαν µια σφήνα που άρχιζε από ένα

κι έφτανε να φτιάξει τρίγωνο µε ίσες πλευρές, χωρίς να περισσεύουν

κι ούτε να τους χρειάζεται βόδι από άλλο χρώμα.

 

Αυτά αφού τα βρεις, ξένε, και σε ένα μυαλό τα χωρέσεις

κι όλους τους αριθμούς πεις για όλες τις ομάδες,

γύρνα περήφανος για τη νίκη σου και γνώριζε

πως εδώ κρίθηκες για πάντα μεγάλος στη σοφία.

 

Οι προσπάθειες επίλυσης του προβλήματος με την προσθήκη του τελευταίου συνόλου περιορισμών, οδήγησαν στην Εξίσωση Pell: x² = dy² + 1, όπου το d είναι ακέραιος αριθμός που δεν είναι τετράγωνο και οι λύσεις x και y πρέπει να είναι θετικοί ακέραιοι. Ο πρώτος μαθηματικός που έλυσε το Βοεικό Πρόβλημα με όλους τους περιορισμούς που τέθηκαν στο ποίημα ήταν ο A. Amthor το 1880. Η λύση δημιούργησε έναν αριθμό που καταλάμβανε δώδεκα σελίδες -ο αριθμός είναι περίπου 7,76 x10²⁰⁶⁵⁴⁴. Η Εξίσωση Pell συνεχίζει να δημιουργεί νέες ‘δυσκολίες καταμέτρησης’ μέχρι σήμερα, καθώς οι μαθηματικοί αγωνίζονται να βρουν αποτελεσματικές μεθόδους λύσεων με βάση τον Η/Υ.

 

Μία λύση δόθηκε το 1965, από τους H.C. Williams, R.A. German και C.R. Zarnke. Ο υπολογισμός της λύσης έγινε µε την βοήθεια δύο Η/Υ. Το 1980 ο H.L. Nelson µε τη βοήθεια ενός Η/Υ βρήκε τη μικρότερη λύση. Το πρόγραμμα αυτό υπολόγισε και τις επόμενες 5 λύσεις. Η μικρότερη από αυτές έχει 206544 ψηφία και η μεγαλύτερη περισσότερα από ένα εκατομμύριο ψηφία. Οι ενδιαφερόμενοι αναγνώστες μπορούν να βρουν περισσότερες πληροφορίες και αναφορές για το θέμα στις Πηγές Πληροφορίας στο τέλος του άρθρου.

 

 

3. Tartaglia: Λύνοντας το ‘Κυβικό Πρόβλημα’

 

Στα μέσα του 16^ου αιώνα βρίσκουμε ακόμα ένα πρόβλημα εκφρασμένο σε στίχους:

 

Όταν ο κύβος και τα πράγματα μαζί Είναι ίσα με κάποιο διακριτό αριθμό,   [x3 + ax = b] Βρείτε δύο άλλους αριθμούς που διαφέρουν κατ’ αυτόν.   [u – v = b]

Τότε θα διατηρήσετε ως συνήθεια Ότι το γινόμενό τους πρέπει να είναι πάντα ίσο Ακριβώς προς τον κύβο του ενός τρίτου των πραγμάτων.  [uv = (a/3)3]

Το υπόλοιπο τότε κατά γενικό κανόνα Από τις ρίζες του κύβου τους που αφαιρέθηκαν Θα είναι ίσο με το κύριο πράγμα σας.   [x + 3Öu = 3Öv]

Στη δεύτερη από αυτές τις πράξεις, Όταν ο κύβος παραμένει μόνος   [x3 = ax + b] Θα τηρήσετε αυτές τις άλλες συμφωνίες:

Θα διαιρέσετε ταυτόχρονα τον αριθμό σε δύο μέρη   [b = u + v] Έτσι ώστε η μία φορά την άλλη να παράγει καθαρά Τον κύβο του ενός τρίτου των πραγμάτων ακριβώς.   [uv = (a/3)3]

Τότε από αυτά τα δύο μέρη, ως συνήθης κανόνας, Θα πάρετε προστιθέμενες τις ρίζες των κύβων, Και αυτό το ποσό θα είναι η σκέψη σας.   [x = 3Öu + 3Öv]

Ο τρίτος από αυτούς τους υπολογισμούς μας   [x3 + b + ax] Λύνεται με το δεύτερο εάν προσέχετε, Καθώς στη φύση τους σχεδόν ταιριάζουν.

Αυτά τα πράγματα βρήκα και όχι με αργά βήματα, Το έτος χίλια πεντακόσια, τέσσερα και τριάντα Με ισχυρά και ανθεκτικά θεμέλια.

Στην πόλη την περιτριγυρισμένη από θάλασσα.   [Βενετία]

 

Μπορούμε να απολαύσουμε την κρυφή λύση σε στίχους για το λεγόμενο ‘κυβικό πρόβλημα’ που δόθηκε από τον Tartaglia, παρ’ όλο που η αγγλική (από όπου και η ελληνική) μετάφραση δεν διατηρεί την ποιητικότητα, τη ρίμα και τον ρυθμό, του αρχικού ιταλικού ποιήματος και αποδίδει μόνο το νόημα. Οι εξισώσεις στα δεξιά, φωτίζουν τα βήματα που περιγράφονται στον στίχο. Ο Tartaglia έμεινε στην ιστορία των Μαθηματικών για την επίλυση των κυβικών εξισώσεων.

 

Αυτά είναι τρία παραδείγματα παλαιότερων εποχών όπου τα Μαθηματικά εκφράζονταν σε στίχους.

 

Πηγές Πληροφορίας

 

• Sarah Glaz, Poetry inspired by mathematics: a brief journey through history, Journal of Mathematics and the Arts, 5(4), 171-183, 2011.

• J.P. Hillion and H.W. Lenstra Jr., Archimedes: The Cattle Problem, in English Verse, Mercator, Santpoort, 1999.

• W. Lenstra Jr., Solving the Pell Equation, Notices of the American Mathematical Society 49, pp. 182–192, 2002.

• Α. Amthor, Das Problema Bovinum des Archimedes, Zeitschrift fur Mathematik und Physik, 1880, σσ. 121-171.

• C. Williams, R.A. German, C.R. Zarnke, Solution of the Cattle Problem of Archimedes, Mathematics of Computation, Vol. 19, No. 92, Oct., 1965, σσ. 671- 674.

• L. Nelson, A Solution to Archimedes’ Cattle Problem, Journal of Recreational Mathematics, Vol. 13, 1981, σσ. 162 – 176.

• Μ. Λάµπρου, Το βοεικόν πρόβλημα του Αρχιμήδη, Κείμενα Ιστορίας και Φιλοσοφίας των Αρχαίων Ελληνικών Μαθηματικών, ∆. Αναπολιτάνος & Β. Καρασμάνης (επιμ.), Τροχαλία, Αθήνα, 1992, σσ. 195-218.