Loading...
ΠΡΟΣΕΓΓΙΣΕΙΣΠρωτοσέλιδοΦωνή βοώντος

Δημήτρης Γαβαλάς: Οι Μαθηματικοί για το Στυλ

Η έννοια του στυλ χρησιμοποιείται ως εργαλείο για τους φιλοσόφους και τους ιστορικούς των Μαθηματικών και του πολιτισμού γενικότερα. Αλλά αναγνωρίζουν οι ίδιοι οι μαθηματικοί την ύπαρξη στυλ στα Μαθηματικά; Δεν είναι δύσκολο να δώσουμε μεμονωμένα αποσπάσματα όπου οι μαθηματικοί μπορούν να μιλούν για το στυλ των αρχαίων ή το αφηρημένο αλγεβρικό στυλ ή το κατηγοριο-θεωρητικό στυλ. Στη μαθηματική εργασία βρίσκουμε εμφανίσεις στυλ σε ονομασίες όπως «κατασκευαστικά Μαθηματικά Bishopstyle». Αυτό που είναι δύσκολο να βρεθεί είναι συστηματικές συζητήσεις από μαθηματικούς για την έννοια του στυλ.

 

Ενδιαφέρουσα συνεισφορά είναι το άρθρο του Claude Chevalley από το 1935 με τίτλο «Variations du style mathématique». Ο Chevalley θεωρεί δεδομένη την ύπαρξη στυλ. Ξεκινά ως εξής: το μαθηματικό στυλ, όπως και το λογοτεχνικό, υπόκειται σε σημαντικές διακυμάνσεις από τη μια ιστορική εποχή στην άλλη. Χωρίς αμφιβολία, κάθε συγγραφέας διαθέτει ατομικό στυλ, αλλά μπορεί κάποιος να παρατηρήσει σε κάθε ιστορική εποχή μια γενική τάση που είναι αρκετά καλά αναγνωρίσιμη. Αυτό το στυλ, υπό την επήρεια ισχυρών μαθηματικών προσωπικοτήτων, υπόκειται κάθε φορά σε αλλαγές που επηρεάζουν τη γραφή, και συνεπώς τη σκέψη, για τις επόμενες περιόδους.

 

Ωστόσο, ο Chevalley δεν προσπαθεί να προβληματιστεί σχετικά με την έννοια του στυλ που εμπλέκεται εδώ. Αντίθετα, ενδιαφέρεται να δείξει με ένα σημαντικό παράδειγμα τα χαρακτηριστικά της μετάβασης μεταξύ δύο μορφών Μαθηματικών που χαρακτηρίζουν το πέρασμα από τα Μαθηματικά του 19ου αιώνα στις προσεγγίσεις του 20ου αιώνα. Το πρώτο στυλ που περιγράφει ο Chevalley είναι το στυλ Weierstrassian, «το στυλ του ε». Βρίσκει τον λόγο ύπαρξής του στην ανάγκη αυστηρότητας του Λογισμού, ο οποίος απομακρύνεται από τις ασάφειες που σχετίζονται με έννοιες όπως ‘απείρως μικρή ποσότητα’ κλπ. Η ανάπτυξη της Ανάλυσης τον 19ο  αιώνα (αναλυτικές συναρτήσεις, σειρά Fourier, θεωρίες επιφανειών Gauss, εξισώσεις Lagrangian στη μηχανική κλπ.) οδηγούν σε κριτική ανάλυση του αλγεβρικού-αναλυτικού πλαισίου μπροστά στο οποίο βρέθηκαν και από αυτή την κριτική εξέταση προκύπτει ένα εντελώς νέο μαθηματικό στυλ.

 

Ο Chevalley ξεχωρίζει την ανακάλυψη μιας συνεχούς μη διαφορίσιμης συνάρτησης, που οφείλεται στον Weierstrass, ως το πιο σημαντικό στοιχείο αυτής της επανάστασης. Καθώς η συνάρτηση του Weierstrass μπορεί να δοθεί με όρους αναπτύγματος Fourier με μια αρκετά κανονική μορφή, γίνεται φανερό ότι πολλές παραστάσεις στα Μαθηματικά υπέθεταν τη συνθήκη κλειστότητας, που έπρεπε να καθοριστεί αυστηρά. Η έννοια του ορίου, όπως ορίζεται από τον Weierstrass, είναι το ισχυρό εργαλείο που επέτρεψε τέτοιες έρευνες. Η αναδόμηση της Ανάλυσης, που διενεργεί ο Weierstrass και οι οπαδοί του, αποδεικνύεται όχι μόνο θεμελιωδώς επιτυχημένη αλλά και μαθηματικά καρποφόρα. Εδώ είναι το πόσο κοντά έρχεται ο Chevalley στον χαρακτηρισμό αυτού του στυλ:

 

Η χρήση από τους μαθηματικούς αυτής της σχολής του ορισμού του ορίου που οφείλεται στον Weierstrass, μπορεί να παρατηρηθεί και στην εξωτερική εμφάνιση των γραπτών τους. Πρώτα από όλα, στην εντατική, ή μερικές φορές μετριοπαθή, χρήση του ‘ε’ εξοπλισμένου με διάφορους δείκτες -αυτός είναι ο λόγος για τον οποίο μιλάμε παραπάνω για ‘στυλ του ε’. Δεύτερον, στην προοδευτική αντικατάσταση της ισότητας με ανισότητα στις αποδείξεις, καθώς και στα αποτελέσματα (θεωρήματα προσέγγισης, θεωρήματα ανώτερου ορίου, θεωρία αύξησης κλπ.).

 

Αυτή η τελευταία πτυχή μας απασχολεί γιατί μας κάνει να καταλάβουμε τους λόγους που αναγκάζουν στην υπέρβαση του Weierstrassian στυλ σκέψης. Πράγματι, ενώ η ισότητα είναι μια σχέση που έχει σημασία για τα μαθηματικά αντικείμενα, η ανισότητα μπορεί να εφαρμοστεί μόνο σε αντικείμενα που είναι εφοδιασμένα με μια σχέση διάταξης, πρακτικά μόνο στους πραγματικούς αριθμούς. Με αυτό τον τρόπο οδηγούμαστε, προκειμένου να αγκαλιάσουμε όλη την Ανάλυση, να ανακατασκευάσουμε την τελευταία εξ ολοκλήρου από τους πραγματικούς αριθμούς και από συναρτήσεις πραγματικών αριθμών.

Από αυτή την προσέγγιση μπορεί κάποιος να κατασκευάσει το σύστημα των μιγαδικών αριθμών ως ζεύγος πραγματικών και τα σημεία των χώρων n διαστάσεων ως n-άδες πραγματικών. Αυτό δίνει την εντύπωση ότι τα Μαθηματικά μπορούν να ενοποιηθούν μέσω κατασκευαστικών ορισμών ξεκινώντας από τους πραγματικούς αριθμούς. Ωστόσο, τα πράγματα εξελίχτηκαν διαφορετικά και ο Chevalley προσπαθεί να εξηγήσει τους λόγους που οδήγησαν στην εγκατάλειψη αυτής της ‘κατασκευαστικής’ προσέγγισης υπέρ μιας αξιωματικής προσέγγισης. Διάφορες αλγεβρικές θεωρίες, όπως η Θεωρία Ομάδων, δημιουργούν σχέσεις που δεν μπορούν να κατασκευαστούν ξεκινώντας από τους πραγματικούς αριθμούς.

 

Επιπλέον, ο κατασκευαστικός ορισμός των μιγαδικών αριθμών ισοδυναμεί με τον καθορισμό ενός αυθαίρετου συστήματος αναφοράς και, ως εκ τούτου, προικίζει αυτά τα μαθηματικά αντικείμενα με ιδιότητες που κρύβουν την πραγματική τους φύση. Από την άλλη πλευρά, κάποιοι ήταν εξοικειωμένοι με την αξιωματοποίηση της Γεωμετρίας του Ευκλείδη και του Hilbert, η οποία, αν και αυστηρή, δεν έχει τον χαρακτήρα της τεχνικής των κατασκευαστικών θεωριών.

 

Σε αυτή την περίπτωση οι οντότητες δεν είναι κατασκευασμένες, αλλά μάλλον καθορίζονται μέσω των αξιωμάτων. Αυτή η προσέγγιση αναπτύσσεται για να επηρεάσει την ίδια την Ανάλυση. Ο Chevalley αναφέρει τη θεωρία του ολοκληρώματος Lebesgue που λαμβάνεται καθορίζοντας πρώτα ποιες ιδιότητες πρέπει να ικανοποιεί το ολοκλήρωμα και, έπειτα, δείχνοντας ότι υπάρχει ένας τομέας αντικειμένων που ικανοποιούν αυτές τις ιδιότητες. Η ίδια ιδέα χρησιμοποιείται από τον Frechet, καθορίζοντας πρώτα τις ιδιότητες που χαρακτηρίζουν τη λειτουργία του ορίου και φτάνοντας έτσι σε μια γενική θεωρία Τοπολογικών Χώρων.

 

Άλλο παράδειγμα που αναφέρει ο Chevalley είναι η αξιωματοποίηση της Θεωρίας Πεδίου που έδωσε ο Steinitz το 1910. Ο Chevalley καταλήγει στο συμπέρασμα ότι:

Η αξιωματοποίηση των θεωριών έχει τροποποιήσει πολύ βαθιά το στυλ των σύγχρονων μαθηματικών κειμένων. Πρώτα από όλα, για κάθε αποτέλεσμα που επιτυγχάνεται, πρέπει πάντα κάποιος να ανακαλύπτει ποιες είναι οι αυστηρά απαραίτητες ιδιότητες που απαιτούνται για να το αποδείξει. Κάποιος αντιμετωπίζει σοβαρά το πρόβλημα της παροχής μιας ελάχιστης απόδειξης ενός τέτοιου αποτελέσματος. Για τον σκοπό αυτό, πρέπει να οριοθετήσει ακριβώς σε ποιον τομέα των Μαθηματικών λειτουργεί, με τέτοιο τρόπο ώστε να απορρίψει μεθόδους που είναι ξένες προς αυτόν τον τομέα, δεδομένου ότι οι τελευταίες είναι πιθανό να επιφέρουν την εισαγωγή άχρηστων υποθέσεων. Επιπλέον, η συγκρότηση τομέων που ταιριάζουν απόλυτα σε ορισμένες πράξεις επιτρέπει σε κάποιον να καθιερώσει γενικά θεωρήματα για τα υπό εξέταση αντικείμενα. Με αυτό τον τρόπο, μπορεί κάποιος να χαρακτηρίσει τις πράξεις της Απειροστικής Ανάλυσης αλγεβρικά, αλλά χωρίς καμιά από τις αφέλειες που χαρακτηρίζει τις προηγούμενες αλγεβρικές προσεγγίσεις.

 

Το άρθρο του Chevalley είναι πολύτιμη πηγή από έναν σύγχρονο μαθηματικό σχετικά με το στυλ. Δείχνει δυναμικά τη διαφορά μεταξύ της αριθμητικοποίησης της Ανάλυσης στα τέλη του 19ου αιώνα και της αξιωματικής-αλγεβρικής προσέγγισης στις αρχές του 20ου αιώνα. Ωστόσο, έχει τους περιορισμούς του. Η έννοια του στυλ δεν είναι θεματική ως τέτοια και δεν είναι σαφές ότι τα χαρακτηριστικά που προσφέρονται για να εξηγήσουν τα συγκεκριμένα ιστορικά γεγονότα μπορεί να παρέχουν τα γενικά εργαλεία για την ανάλυση άλλων μεταβάσεων στο μαθηματικό στυλ. Αλλά ίσως αυτό πρέπει, αν μη τι άλλο, να είναι καθήκον ενός φιλοσόφου των Μαθηματικών.

Ο Τόπος του Στυλ

 

Στο βιβλίο με τίτλο “Introducción al estilo matematico” (1971) ο Ισπανός φιλόσοφος Javier de Lorenzo προσπαθεί να συνθέσει μια Ιστορία των Μαθηματικών με όρους στυλ. Παρ’ όλο που μέχρι το 1971 εργασίες για το στυλ είχαν ήδη εμφανιστεί, ο de Lorenzo δεν το γνωρίζει και η μόνη πηγή στυλ που χρησιμοποιεί είναι το άρθρο του Chevalley. Πράγματι, το βιβλίο του είναι επέκταση της μελέτης του Chevalley για να συμπεριλάβει πολλά περισσότερα στυλ που έχουν εμφανιστεί στην Ιστορία των Μαθηματικών. Ο κατάλογος των μαθηματικών στυλ που μελετάται από τον de Lorenzo περιλαμβάνει κυρίως τα εξής:

  • Γεωμετρικό στυλ

  • Ποιητικό στυλ

  • Συμβολικό στυλ

  • Καρτεσιανό-αλγεβρικό στυλ

  • Το στυλ των αδιαίρετων/ πρώτων

  • Εψιλοντικό στυλ (ε)

  • Συνθετικό vs. αναλυτικό στυλ στη Γεωμετρία

  • Αξιωματικό στυλ

  • Φορμαλιστικό στυλ

 

Η γενική οργάνωση θυμίζει μεγάλο μέρος της προσέγγισης του Chevalley και μάταια αναζητάει κάποιος στο βιβλίο του de Lorenzo ικανοποιητική περιγραφή ή ορισμό του στυλ. Είναι αλήθεια ότι υπάρχουν μερικές ενδιαφέρουσες παρατηρήσεις σχετικά με τον ρόλο της γλώσσας στον καθορισμό ενός στυλ, αλλά λείπει μια γενική φιλοσοφική ανάλυση. Υπάρχουν, ωστόσο, κάποια σημαντικά σημεία στη διαπραγμάτευση των Chevalley και de Lorenzo, που φαίνεται να επισημαίνουν ενδιαφέροντα χαρακτηριστικά της χρήσης του στυλ στα Μαθηματικά.

 

Στη συνέχεια, ο Jean Gayon παρουσιάζει τις διαφορετικές χρήσεις του ‘στυλ’ στην Ιστοριογραφία της Επιστήμης και λέει ότι εμπίπτουν μεταξύ δύο κατηγοριών:

(i) Υπάρχει η χρήση του ‘επιστημονικού στυλ’ εκ μέρους εκείνων που επιδιώκουν μια ‘Τοπική Ιστορία της Επιστήμης’. Συνήθως αυτός ο τύπος ανάλυσης εστιάζει σε ‘τοπικές ομάδες ή σχολές’ ή σε ‘έθνη’. Για παράδειγμα, αυτός ο τύπος ιστορίας υπογραμμίζει το καθολικό στοιχείο της γνώσης και τονίζει τις δυσκολίες που συνεπάγεται η μετάφραση πειραμάτων από το ένα περιβάλλον στο άλλο. Τέτοιες δυσκολίες φαίνεται να εξαρτώνται από τις ‘τοπικές’ παραδόσεις, οι οποίες περιλαμβάνουν συγκεκριμένη τεχνική και θεωρητική τεχνογνωσία που είναι «θεμελιώδης για τη δημιουργία, την πραγματοποίηση και την ανάλυση των αποτελεσμάτων αυτών των πειραμάτων» (Corry).

(ii) Υπάρχει η χρήση του ‘επιστημονικού στυλ’ που δίδεται ως παράδειγμα σε έργα όπως το ‘Styles of Scientific Thinking in the European Tradition’ του Crombie. Ο Crombie απαριθμεί τα ακόλουθα επιστημονικά στυλ:

(α) αξιωματοποίηση στις (αξιωματικές) μαθηματικές επιστήμες˙

(β) πειραματική εξερεύνηση και μέτρηση σύνθετων ανιχνεύσιμων σχέσεων˙

(γ) υποθετική μοντελοποίηση˙

(δ) τακτοποίηση μιας ποικιλίας με σύγκριση και ταξινόμηση˙

(ε) στατιστική ανάλυση πληθυσμών˙

(στ) ιστορική παραγωγή γενετικής ανάπτυξης.

Ο Gayon παρατηρεί ότι αυτή η τελευταία έννοια του ‘στυλ’ μπορεί να αντικατασταθεί από τη ‘μέθοδο’ και ότι «τα στυλ που συζητούνται εδώ δεν έχουν καμία σχέση με τα τοπικά στυλ». Παρατηρεί επίσης ότι, όταν πρόκειται για τοπικά στυλ, οι ομάδες που ενεργούν ως κοινωνιολογική υποστήριξη για τέτοιες αναλύσεις είναι είτε ‘ερευνητικές ομάδες’ είτε ‘έθνη’. Υπήρξε μεγάλη έμφαση στην πρόσφατη Ιστορία των Πειραματικών Επιστημών σε τέτοιους τοπικούς παράγοντες.

 

Οι ιστορικοί των Μαθηματικών προσπαθούν τώρα να εφαρμόσουν τέτοιες ιστοριογραφικές προσεγγίσεις και στα καθαρά Μαθηματικά. Μια πρόσφατη προσπάθεια προς αυτή την κατεύθυνση είναι το έργο του Epple όσον αφορά τις «επιστημονικές διαμορφώσεις», όπως το πρόσφατο άρθρο του σχετικά με την πρώιμη δουλειά του Alexander και του Reidemeister στη Θεωρία Κόμβων. Οι ομάδες υποστήριξης για τέτοιες έρευνες δεν αναφέρονται ως ‘σχολές’ αλλά ως ‘μαθηματικές παραδόσεις’ ή ‘μαθηματικές κουλτούρες’.

 

Τι γίνεται με τη ‘μεθοδολογική’ έννοια του στυλ à la Crombie; Την έχουν αξιοποιήσει οι ιστορικοί των Μαθηματικών; Εκτός από πολυάριθμες πραγματεύσεις του πρώτου στυλ (αξιωματική μέθοδος), δεν υπάρχουν πολλά σε αυτόν τον τομέα, εκτός από την ενδιαφέρουσα ιστορική συμβολή του έργου του Goldstein στον Frenicle de Bessy. Υποστηρίζει ότι τα καθαρά Μαθηματικά, όπως ασκούνται από τον de Bessy, έχουν πολλά κοινά με το Baconian στυλ της πειραματικής επιστήμης. Ίσως κάποιος αναφέρει εδώ ότι τα Πειραματικά Μαθηματικά είναι πλέον ένα πεδίο που ανθεί και μπορεί σύντομα να βρει τον ιστορικό του. Υπάρχουν εξάλλου ο Baker για τη φιλοσοφική περιγραφή των Πειραματικών Μαθηματικών και ο Sørensen για την ανάλυση της μαθηματικής κουλτούρας.

 

Αυτό είναι θέμα υψηλού ενδιαφέροντος για τους φιλόσοφους, καθώς επηρεάζει ζητήματα της μαθηματικής μεθόδου. Το πρόβλημα μπορεί να τεθεί ως εξής: εκτός από αυτό που ο Crombie παραθέτει ως μεθοδολογικό στυλ (α) (αξιωματικό), ποια άλλα στυλ ακολουθούνται στη μαθηματική πρακτική; Ο Corfield θίγει το πρόβλημα στο βιβλίο του Towards a philosophy ofrealmathematicsόταν, αναφερόμενος στον παραπάνω κατάλογο Crombie, λέει:

 

Ο Hacking επικροτεί τη συμπερίληψη του (α) του Crombie ως «αποκατάστασης των Μαθηματικών στις Επιστήμες» μετά τον διαχωρισμό των λογικών θετικιστών και επεκτείνει τον αριθμό των στυλ του σε δύο, παραδεχόμενος το αλγοριθμικό στυλ των ινδικών και αραβικών Μαθηματικών. Είμαι ευχαριστημένος με αυτή την επιχειρηματολογία, ειδικά αν αποτρέπει από το να θεωρηθούν τα Μαθηματικά ως δραστηριότητα εντελώς αντίθετη με οποιαδήποτε άλλη. Πράγματι, οι μαθηματικοί ασχολούνται επίσης με τα στυλ (β), (γ) και (δ) και σύμφωνα με το (ε) μαθηματικοί αναλύουν επί του παρόντος τα στατιστικά στοιχεία των μηδενικών της συνάρτησης zeta του Riemann

 

Ο Corfield αναφέρει ότι η ταξινόμηση των πεπερασμένων απλών ομάδων είναι μια άσκηση ταξινομίας. Δεν είναι ο στόχος αυτού του δοκιμίου να αντιμετωπίσει με ακρίβεια το τεράστιο σύνολο θεμάτων που προκύπτουν από τα προηγούμενα αποσπάσματα. Αλλά πρέπει να επισημανθεί ότι αυτά τα ζητήματα αντιπροσωπεύουν μια νέα και διεγερτική περιοχή για μια περιγραφική επιστημολογία των Μαθηματικών και ότι έχει ήδη πραγματοποιηθεί κάποια εργασία προς αυτή την κατεύθυνση.

 

Τέλος, πώς να συνδυαστούν το ‘τοπικό’ και το ‘μεθοδολογικό’ στυλ με αυτό που βρίσκουμε στον Chevalley και τον de Lorenzo; Στην περίπτωση των Μαθηματικών υπάρχουν ενδείξεις ότι ο πιο φυσικός τόπος για τα στυλ εμπίπτει μεταξύ αυτών των δύο κατηγοριών. Πράγματι, σε γενικές γραμμές, τα μαθηματικά στυλ ξεπερνούν κάθε τοπική κοινότητα που ορίζεται με απλούστερους κοινωνιολογικούς όρους (εθνικότητα, άμεση συμμετοχή σε σχολή κλπ.) και είναι τέτοια που η ομάδα υποστήριξης μπορεί να χαρακτηριστεί μόνο από τη συγκεκριμένη μέθοδο έρευνας που ακολουθείται. Από την άλλη πλευρά, η μέθοδος δεν είναι τόσο καθολική ώστε να είναι αναγνωρίσιμη ως μία από τις έξι μεθόδους που περιγράφονται από τον Crombie ή στην εκτεταμένη λίστα που δίνεται από τον Hacking. Εδώ είναι μερικά πιθανά παραδείγματα, όπου τα ονόματα που επισυνάπτονται σε κάθε θέση δεν πρέπει να παραπλανούν τον αναγνώστη να πιστεύει ότι κάποιος ασχολείται απλώς με ‘ατομικά’ στυλ.

(1) Άμεσες vs. έμμεσες τεχνικές στη Γεωμετρία (Cavalieri και Torricelli έναντι Αρχιμήδη)

(2) Αλγεβρική vs. γεωμετρικές προσεγγίσεις στην Ανάλυση τον 17ο και 18ο αιώνα (Euler έναντι McLaurin)

(3) Γεωμετρικές vs. αναλυτικές προσεγγίσεις στη Μιγαδική Ανάλυση τον 19ο αιώνα (Riemann έναντι Weierstrass)

(4) Εννοιολογική vs. υπολογιστικές προσεγγίσεις στην αλγεβρική Θεωρία Αριθμών (Dedekind έναντι Kronecker)

(5) Δομικά vs. διαισθητικά στυλ στην Αλγεβρική Γεωμετρία (Γερμανική σχολή έναντι Ιταλικής σχολής).

 

Φυσικά, στην Ιστορία και τη Φιλοσοφία της Επιστήμης υπάρχουν επίσης ‘ενδιάμεσα’ επίπεδα στυλ, όπως αυτά που περιγράφονται εδώ, για παράδειγμα το ‘Νευτώνειο στυλ’ στη Μαθηματική Φυσική (de Gandt), αλλά το γεγονός ότι ο Gayon δεν τα ανιχνεύει ως κεντρικά δείχνει ότι η κατάσταση στην Ιστορία και Φιλοσοφία των Μαθηματικών είναι αρκετά διαφορετική, καθώς αυτά τα ‘ενδιάμεσα’ στυλ είναι αυτά που έχουν συζητηθεί πιο διεξοδικά και αντιστοιχούν στα στυλ που αναλύονται από τους Chevalley και de Lorenzo. Επιπλέον, οι συζητήσεις για τοπικούς μαθηματικούς πολιτισμούς τείνουν να γίνονται χωρίς την έννοια του στυλ, ενώ αυτό θεωρείται πλέον αναγκαίο.

Πηγές Πληροφορίας
 
  • Mancosu, P., 2017, Mathematical Style, The Stanford Encyclopedia of Philosophy, editor Edward N. Zalta, publisher Metaphysics Research Lab, Stanford University.
  • Baker, A., 2008, “Experimental mathematics”, Erkenntnis, 68: 331–344.
  • Chevalley, C., 1935, “Variations du style mathématique”, Revue de Metaphysique et de Morale, 3: 375–384.
  • Corfield, D., 2003, Towards a Philosophy of ‘Real’ Mathematics, Cambridge: Cambridge University Press.
  • Corry, L., 2004a, Modern Algebra and the Rise of Mathematical Structure, Basel: Birkhäuser; 2nd edition.
  • Corry, L., 2004b, “Introduction”, Science in Context, 17: 1–22.
  • Crombie, A., 1994, Styles of Scientific Thinking in the European Tradition, London: Duckworth.
  • de Gandt, F., 1986, “Le style mathématique des “Principia” de Newton”, Revue d’Histoire des Sciences, 39 (3): 195–222.
  • de Lorenzo, J., 1971, Introducción al estilo matematico, Madrid: Editorial Tecnos.
  • Epple, M., 1997, “Styles of argumentation in the late 19thcentury geometry and the structure of mathematical modernity”, in M. Otte and M. Panza (eds.), Analysis and Synthesis in Mathematics, Dordrecht: Kluwer, pp. 177–198.
  • –––, 2004, “Knot Invariants in Vienna and Princeton during the 1920s: Epistemic configurations of mathematical research”, Science in Context, 17: 131–164.
  • –––, 2011, “Between timeless and historiality: On the dynamics of epistemic objects of mathematics”, Isis, 102: 481–493.
  • Gayon, J., 1996, “De la catégorie de style en histoire des sciences”, Alliage, 26: 13–25.
  • –––, 1998, “De l’usage de la notion de style en histoire des sciences”, in J. Gayon et al. (eds.), La Rhétorique: Enjeux de ses Résurgences, Bruxelles: OUSIA, pp. 162–181.
  • Goldstein, C., 2001, “L’expérience des nombres de Bernard Frenicle de Bessy”, Revue de Synthèse, 122: 425–454.
  • Hacking, I., 1992, “‘Style’ for historians and philosophers”, Studies in History and Philosophy of Science, 23: 1–20.
  • –––, 1995, “Immagini radicalmente costruzionaliste del progresso matematico”, in A. Pagnini, Realismo/Antirealismo, Firenze: La Nuova Italia, pp. 59–92.
  • –––, 1996, “The disunities of science”, in P. Galison and D. Stump, The Disunity of Science: Boundaries, Context and Power, Stanford: Stanford University Press, pp. 37–74.
  • –––, 2002, Historical Ontology, Cambridge, MA: Harvard University Press.
  • –––, 2012, “‘Language, Truth, and Reason’ 30 years later”, Studies in History and Philosophy of Science, 43: 599–609.
  • H. Poincaré, 1905, La Valeur de la Science, Paris: Flammarion. English translation: The Value of Science, New York: Dover Publications, 1958.
  • Sørensen, H. K., 2016, “The end of proof’? The integration of different mathematical cultures as experimental mathematics comes of age”, in B. Larvor (ed.), Mathematical Cultures. The London Meetings 2012-2014, Cham: Birkhäuser, 2016, pp. 139–160.

 

Αφήστε μια απάντηση

Η ηλ. διεύθυνση σας δεν δημοσιεύεται. Τα υποχρεωτικά πεδία σημειώνονται με *

Αυτός ο ιστότοπος χρησιμοποιεί το Akismet για να μειώσει τα ανεπιθύμητα σχόλια. Μάθετε πώς υφίστανται επεξεργασία τα δεδομένα των σχολίων σας.