Υπάρχει μια κοινή αίσθηση αντίθεσης, η οποία έχει σχέση με τον ‘Ανώτερο Κόσμο’, αφενός, των ιδεατών μαθηματικών αντικειμένων, αρχετύπων, ιδεών, καθαρών σχέσεων, ποιοτήτων κ.τ.ό. (‘Ουράνια’ Μαθηματικά) και τον τρέχοντα ‘κατώτερο κόσμο’, αφετέρου, τον ανθρώπινο κόσμο των υλικών αντικειμένων, της ποσότητας, του πλήθους, της εφαρμογής, των μετρήσεων κ.τ.ό. (‘Χθόνια’ Μαθηματικά). Αυτή είναι μια σημαντική αντίθεση, που μπορεί να θεωρηθεί βασική. Η βασική αυτή αντίθεση φαίνεται εντυπωσιακή και ίσως όχι τόσο τυχαία. Αν βασιστούμε σε αυτή την αίσθηση, μπορούμε να πούμε ότι υπάρχουν κάποια συμπεράσματα και μεταδίδεται κάποια πληροφορία από τη φύση αυτής της διαπιστωμένης κατάστασης.

Πράγματι, αν θεωρήσουμε ως ‘οριζόντιο επίπεδο’ τη συνήθη εμπειρική ανθρώπινη συνείδηση, που γενικά αντιλαμβάνεται σώματα σε κίνηση μέσα σε ένα χωροχρονικό συνεχές και ασχολείται με διάφορους τρόπους με αυτά, καθώς και με τους νόμους που τα διέπουν, τότε αυτό το επίπεδο τέμνεται από μίαν άλλη τάξη πραγμάτων, ένα ‘κατακόρυφο επίπεδο’, και το μόνο που μπορούμε να πούμε γι’ αυτήν είναι ότι πρόκειται για κάτι, αφενός, μαθηματικά αφηρημένο και, αφετέρου, θρυλικό, ιερό και μυστηριώδες.

Αν δούμε τον αριθμό ως ανακάλυψη και αποκάλυψη και όχι ως επινόηση και εφεύρεση για μέτρηση, τότε, επειδή η φύση του είναι της ίδιας υφής με τη μυθολογική, ανήκει στην περιοχή των ‘θείων’ μορφών και είναι τόσο αρχετυπικός όσο και εκείνες. Αλλά, αντίθετα με αυτές, είναι και πραγματικός, με την έννοια ότι τον συναντάμε στην περιοχή της ανθρώπινης πείρας ως ποσότητα. Αποτελεί,  έτσι, τη γέφυρα και την τομή ανάμεσα στον φυσικό, πραγματικό, εξωτερικό κόσμο και στον ιδεατό, φαντασιακό, εσωτερικό κόσμο.

Αυτό σημαίνει, δηλαδή, ότι μετέχει και στους δύο. Αποτελεί μια πλευρά του υλικά πραγματικού, όπως και του ψυχικά φαντασιακού. Δεν μετράει μόνο και ούτε είναι απλώς ποσοτικός και στατικός. Διότι δηλώνει, επίσης, και την ποιότητα και είναι δυναμικό σχήμα και γι’ αυτό αποτελεί μια οντότητα, η οποία είναι κατά ένα μέρος ανακάλυψη και αποκάλυψη και κατά ένα μέρος επινόηση και εφεύρεση. Είναι αυτή ακριβώς η διπλή φύση του αριθμού, που τον καθιστά συμβολικό και γι’ αυτό μπορεί να χρησιμεύσει ως φορέας των νοητικών και ψυχικών διεργασιών.

Ο Jung λέει ότι ο αριθμός είναι το κλειδί του μυστηρίου, αφού μπορεί να θεωρηθεί τόσο ως ανακάλυψη όσο και ως επινόηση, καθώς επίσης και ως ποσότητα και ως σημασία/ νόημα. Θεωρεί ότι ο αριθμός είναι το πιο πρωταρχικό στοιχείο τάξης στην ανθρώπινη νόηση και ορίζει τον αριθμό, από ψυχολογική άποψη, ως αρχέτυπο τάξης το οποίο έγινε συνειδητό. Η Von Franz αναλαμβάνει μια εξαντλητική έρευνα για το αρχέτυπο του αριθμού που δρα ως δυναμική οργανωτική αρχή και στην ψυχή και στην ύλη. Εκδίδει τα αποτελέσματα της έρευνάς της στο βιβλίο Number and Time το οποίο συνιστά αξιοπρόσεκτη επέκταση της Γενικής Υπόθεσης των Αρχετύπων των Jung-Pauli.  

Σύμφωνα με την Γενική Υπόθεση των Αρχετύπων των Jung – Pauli τα πλαίσια του νου και της ύλης, δηλαδή ψυχή και φύση, είναι συμπληρωματικές όψεις της ίδιας υπερβατικής πραγματικότητας, την οποία ονομάζουν unus mundus. Τα αρχέτυπα δρουν ως θεμελιώδη δυναμικά πρότυπα, οι διάφορες αναπαραστάσεις των οποίων χαρακτηρίζουν όλες τις διαδικασίες είτε νοητικές είτε φυσικές. Στο ψυχικό πλαίσιο τα αρχέτυπα οργανώνουν τις ιδέες και τις εικόνες, ενώ στο φυσικό πλαίσιο οργανώνουν τη δομή και τους μετασχηματισμούς της ύλης και της ενέργειας και, επίσης, ευθύνονται για την τάξη. Η ταυτόχρονη δράση των αρχετύπων και στο φυσικό και στο ψυχικό πλαίσιο ευθύνεται για τις περιπτώσεις συγχρονιστικών φαινομένων, δηλαδή φαινομένων που συνδέονται μη-αιτιατά, αλλά τα οποία έχουν το ίδιο ή παρόμοιο νόημα/ σημασία για τον παρατηρητή. 

Στη συνέχεια, η έρευνα της von Franz για το αρχέτυπο του αριθμού ξεκαθαρίζει και επεκτείνει τη Γενική Υπόθεση των Αρχετύπων των Jung – Pauli, η οποία μπορεί να διατυπωθεί ως εξής: Όλα τα νοητικά και φυσικά φαινόμενα είναι συμπληρωματικές όψεις της ίδιας ενιαίας υπερβατικής πραγματικότητας. Στη βάση όλων των φυσικών και νοητικών φαινομένων υπάρχουν συγκεκριμένες θεμελιώδεις δυναμικές μορφές ή πρότυπα συμπεριφοράς, τα οποία είναι εκδηλώσεις του αρχέτυπου του αριθμού. Οποιαδήποτε συγκεκριμένη διαδικασία, φυσική ή νοητική, είναι συγκεκριμένη αναπαράσταση αυτού του αρχετύπου. Το αρχέτυπο του αριθμού παρέχει τη βάση για όλη τη δυνατή συμβολική έκφραση. Επομένως, μια ουδέτερη γλώσσα/ υπερκώδικας διατυπωμένη από αφηρημένες συμβολικές αναπαραστάσεις του αρχέτυπου του αριθμού, μπορεί να παρέχει ενοποιημένες, αν και όχι μοναδικές, περιγραφές όλων των νοητικών και φυσικών φαινομένων. Η άποψη αυτή οδηγεί στη δυνατότητα μαθηματικοποίησης/ αριθμητικοποίησης της ολότητας των ψυχοφυσικών φαινομένων, τα οποία απασχολούν τη σύγχρονη Γνωστική Επιστήμη. Επίσης, ο φυσικός Card έχει εξετάσει τον παραλληλισμό μεταξύ της έρευνας της von Franz για το εγγενές στους αριθμούς πρωταρχικό αρχέτυπο και αυτής του Chomsky για τα γλωσσικά καθολικά.

Στον πλατωνικό διάλογο Μένων, ο Σωκράτης απευθύνει ερωτήσεις στον Μένωνα και δείχνει έτσι πώς από ένα ορισμένο τετράγωνο κατασκευάζεται ένα άλλο με διπλάσιο εμβαδόν. Ο Μένων αναγνωρίζει ότι κάποια φαινομενικά προφανής κατασκευή δεν είναι σωστή και στη συνέχεια αναγνωρίζει και τη σωστή. Τότε ο Σωκράτης καταλήγει ως εξής: «Τη γνώση που έχει αυτός τώρα ή την απέκτησε κάποτε ή την είχε ανέκαθεν. Αν την είχε ανέκαθεν, γνώριζε αυτά και ανέκαθεν, αν όμως την απέκτησε κάποτε, δεν είναι δυνατόν να την απέκτησε στην παρούσα ζωή του. Μήπως τον έχει διδάξει κάποιος Γεωμετρία; Γιατί αυτός θα κάνει τα ίδια που έκανε τώρα και για ολόκληρη τη Γεωμετρία και για όλους τους άλλους κλάδους της γνώσης. Τον δίδαξε όμως κανείς όλα αυτά;» (Μένων 85 Ε). Η απάντηση είναι «όχι». Αυτό το πείραμα δείχνει δυο πράγματα: Αφενός ότι υπάρχουν τρία στάδια για να φτάσει κάποιος στη γνώση. Αρχικά η γνώση είναι ασυνείδητη. Στη συνέχεια, η εικασία και η γνώμη αφυπνίζονται με ερωτήσεις και μέσα από τη διαλεκτική προσέγγιση. Τέλος, η εικασία και η γνώμη μετατρέπονται σε γνώση μέσα από την κατανόηση της σχέσης, που υπάρχει μεταξύ του γνωστικού αντικειμένου και της ιδέας/ μορφής, από την οποία αυτό προέρχεται. Αφετέρου ότι γνωρίζουμε αλήθειες τις οποίες δεν μάθαμε εξωτερικά, δηλαδή από την παιδεία και την εμπειρία. Αυτή η γνώση είναι πρότυπο/ υπόδειγμα των καθολικών αληθειών τις οποίες μπορούμε να συλλάβουμε και αναγνωρίσουμε. Τέλος, υπάρχει ένα ανώτερο ιεραρχικό επίπεδο της απόλυτης γνώσης και αλήθειας, πηγή της γνώσης του Αγαθού.

Η σύγχρονη έρευνα διαπιστώνει την ύπαρξη έμφυτων μοντέλων, καθολικών δυναμικών σχημάτων, τα οποία είναι γνωστά ως αρχέτυπα και διαφέρουν από τις πλατωνικές ιδέες/ μορφές. Πράγματι, ό,τι αποκαλούσε ο Πλάτων ιδέα, είναι πρότυπο ανώτατης τελειότητας μόνο με τη θετική/ φωτεινή έννοια, ενώ το αρχέτυπο είναι διπολικό και πραγματώνει τόσο τη μια όσο και την άλλη, αρνητική/ σκοτεινή, πλευρά, γιατί δεν είναι πρότυπο τελειότητας, αλλά ολότητας. Επίσης, συνοδεύεται από συγκινησιακή φόρτιση. Ένα είδος γνώσης λοιπόν, το οποίο βασίζεται σε έμφυτες αρχές μάλλον παρά είναι επίκτητο και αποτέλεσμα εξωτερικής εμπειρίας, είναι το σύστημα των αρχετύπων. Η μελέτη των αρχετύπων και της δομής τους, όπως η μελέτη των αριθμών, μπορεί να οδηγήσει σε καλύτερη κατανόηση των τυπικών ιδιοτήτων του νου. Τα αρχέτυπα είναι δομές, μοντέλα στο νοητικό επίπεδο, νόρμες και περιορισμοί, πρότυπα νοητικής και ψυχικής συμπεριφοράς στο ασυνείδητο, που δίνουν τη δυνατότητα στην πληροφορία να σταλεί με μορφή εικόνων στο συνειδητό.

Η φύση αυτής της πληροφορίας είναι συμβολική. Τα αρχέτυπα αντιστοιχούν σε μια καθολική γραμματική του νου. Τον προδιαθέτουν σε συγκεκριμένα είδη καθολικής γνώσης, εξασφαλίζοντας ότι μερικά θέματα είναι παγκόσμια, όπως οι μύθοι, οι αριθμοί, οι γλωσσικές δομές, οι ιδέες/ μορφές. Τα αρχέτυπα παρέχουν τις δυνατότητες και τις συνθήκες για την παραγωγή ιδεών και φαντασίας. Δεν βρίσκονται στον νου ως αποτέλεσμα πληροφόρησης, εξάσκησης ή διδασκαλίας, αλλά είναι μια πανανθρώπινη κληρονομιά. Ένα αρχέτυπο δεν είναι κατευθείαν γνωστό, αλλά γίνεται γνωστό μόνο μέσα από την εμφάνιση της αρχετυπικής εικόνας, που παρουσιάζεται αυθόρμητα. Επειδή η αρχετυπική πληροφορία έχει παγκόσμια βάση, έξω από συγκεκριμένο χωροχρόνο, δεν εξαρτάται και από συγκεκριμένες εμπειρίες. Όσο και αν η ταύτισή μας με το συνειδητό και τον ορθολογισμό του μπορεί να απορρίπτει, να απωθεί ή να καταπιέζει τα αρχέτυπα και τις εικόνες τους, αυτά ξαναγυρίζουν πάντα με τη μια ή την άλλη ισοδύναμη μορφή. Όμως, αυτή η μορφή είναι πάντα μέσα σε κάποια πλαίσια και όχι εντελώς ελεύθερη, δεν είναι δηλαδή ελεύθερη να είναι η οποιαδήποτε μορφή. Τα αρχέτυπα, γενικά, έχουν τη δικιά τους ιδιαίτερη λογική και δομή και αυτά τα ειδικά στοιχεία τους αντικατοπτρίζουν τη δομή του νου.

Τα λίγα, που αναφερθήκανε πιο πάνω, μπορούν να μας κάνουν να σκεφτούμε ότι η αντίθεση ανάμεσα στον ‘Ανώτερο Κόσμο’ των Καθαρών Μαθηματικών και στον ‘κατώτερο κόσμο’ των εφαρμοσμένων Μαθηματικών δεν είναι απόλυτη. Οι δυο αυτοί Κόσμοι είναι φαινομενικά μόνο ασύμβατοι, διότι δεν λείπει η γέφυρα που τους συνδέει. Ανάμεσά τους, ως κοινός παράγοντας, στέκεται ένας μεσάζοντας, ο αριθμός, που η πραγματικότητά του είναι έγκυρη και στους δύο αυτούς Κόσμους, επειδή ακριβώς είναι αρχέτυπο στην ουσία του, στην έσχατη πραγματικότητά του. Ο αριθμός ανήκει και στους δύο Κόσμους και στον πραγματικό και στον φανταστικό, είναι και ορατός και αόρατος, και ποσοτικός και ποιοτικός. Το ότι, λοιπόν, ο αριθμός μετέχει, αλλά και χαρακτηρίζει τη φύση της μεσάζουσας μορφής, που εμφανίζεται ως μεσολαβητής ανάμεσα στη βασική αντίθεση και σε όλες τις άλλες, αποτελεί πολύ σπουδαίο γεγονός. Διότι συμπεραίνουμε αμέσως ότι το σύμβολο, που πραγματώνει τη διαμεσολάβηση, τη συνένωση, την ολότητα, τη μονότητα, την ενότητα, την τάξη, την ταυτότητα, τη σύνθεση, τη συμφιλίωση, μπορεί να εκφραστεί, γενικά, με κάποιο μαθηματικό τρόπο. Η έννοια του συμβόλου αυτού προϋποθέτει αναγκαστικά κάποια υπέρβαση, η οποία δεν οδηγεί, βέβαια, σε κάποια μεταφυσική υπόθεση. Απλώς είναι μια οριακή, κατά Καντ, έννοια και το ότι υπάρχει κάτι πέρα από το γνωστικό αυτό όριο αποδεικνύεται από την αυθόρμητη εμφάνιση και παρατήρηση των αρχετύπων και, πιο ξεκάθαρα, από τον αριθμό. Ο τελευταίος, από τη μια μεριά του ορίου είναι ποσότητα, αλλά από την άλλη αυτόνομη οντότητα ικανή για ποιοτικές δηλώσεις, που εκφράζονται σε a priori δομές τάξης, κανονικότητας και ευρυθμίας.

Με την ύπαρξη ενός παράγοντα, που μεσολαβεί ανάμεσα στους δυο φαινομενικά ασύμβατους Κόσμους, γνωρίζουμε πια ότι ο ένας Κόσμος παίρνει, διαμέσου ακριβώς αυτού του παράγοντα, ιδιότητες του άλλου Κόσμου και με τη βοήθειά του ο ένας μπορεί να επιδράσει στον άλλο έτσι, ώστε να βρίσκονται σε διαρκή αλληλεπίδραση. Και ακόμα παραπέρα, η έσχατη πραγματικότητα βασίζεται σε ένα κοινό υπόστρωμα, βέβαια άγνωστο ακόμα, με ιδιότητες ταυτόχρονα και των δύο Κόσμων, που μας δίνει την ευκαιρία να φτιάξουμε ένα νέο πρότυπο του Κόσμου, το οποίο να βρίσκεται πιο κοντά στην ιδέα του ‘ενός Κόσμου’ (unus mundus). Εδώ, κάθε γεγονός του πρώτου Κόσμου συνοδεύεται από ένα γεγονός του άλλου και αντίστροφα, με αποτέλεσμα, εκτός από την αιτιατή σύνδεση να εισάγουμε και άλλες ερμηνείες, όπως για παράδειγμα, τη μη-αιτιατή σύνδεση, την αντιστοιχία, τη σύμπτωση με νόημα, την εξαναγκασμένη τυχαιότητα, την ομοιότητα κτλ. Φαίνεται πως η μέθοδος, που ταιριάζει περισσότερο στη φύση της τάξης και της τύχης, είναι η αριθμητική. Από τα αρχαία χρόνια οι άνθρωποι χρησιμοποιούν τους αριθμούς για να εκφράσουν το νόημα της τάξης, καθώς και συμπτώσεις με νόημα, που μπορούν δηλαδή να ερμηνευτούν. Επίσης, αν απογυμνώσουμε ένα σύνολο αντικειμένων από όλες τις ιδιότητες και τα χαρακτηριστικά του, δηλαδή θεωρήσουμε ένα αφηρημένο σύνολο, εκείνο που μένει τελικά είναι το πλήθος του, δηλαδή ο αριθμός του, γεγονός που τουλάχιστον υποδεικνύει ότι ο αριθμός είναι μέγεθος αρχικό και μη αναγώγιμο.