Προϊδεασμός
Το κείμενο διερευνά μία από τις εκδηλώσεις της σχέσης Μαθηματικών και Ποίησης -το λεγόμενο γενικά φαινόμενο της ‘Ποίησης που εμπνέεται από τα Μαθηματικά’. Αυτή η Ποίηση ανταποκρίνεται στις μαθηματικές ανησυχίες/ ενδιαφέροντα και στα επιτεύγματα της σήμερον, είτε πρόκειται για καθοριστικό ορισμό ή τεχνική, είτε για μακροχρόνια άλυτη εικασία ή για διάσημο θεώρημα. Καλύπτοντας ποικίλες χρονικές περιόδους και κυρίως μαθηματικά θέματα, η επιλογή των ποιημάτων παίρνει τον αναγνώστη σε ένα ταξίδι στη σύγχρονη ιστορία των Μαθηματικών, επισημαίνοντας κατά τη διαδρομή αυτή μαθηματικές ιδέες και επιτυχίες που ενέπνευσαν μαθηματικούς και ποιητές. Τα κίνητρα για να γραφούν αυτά τα ποιήματα, τα μαθηματικά τους θέματα και το ποιητικό τους στυλ, ποικίλλουν διαμέσου της ιστορίας και από πολιτισμό σε πολιτισμό. Προσφέρεται μια σειρά ποιημάτων από ποικίλες χρονικές περιόδους, ποιητικά στυλ και μαθηματικά θέματα, κυρίως από τη σύγχρονη Ποίηση που γιορτάζει, για παράδειγμα, την απόδειξη του Τελευταίου Θεωρήματος του Fermat, την ακόμα άλυτη Υπόθεση Riemann, ή τη δημιουργία της fractal Geometry. Το συγκεκριμένο άρθρο περιορίζεται στα λεγόμενα Θεμέλια των Μαθηματικών.
Θέματα από τα Θεμέλια των Μαθηματικών
Ο David Hilbert (1862-1943), από τους πιο σημαντικούς μαθηματικούς του 20ου αιώνα, έγραψε: «Το άπειρο! Καμία άλλη ερώτηση δεν έχει ταρακουνήσει τόσο βαθιά το πνεύμα του ανθρώπου». Παρακάτω είναι ένα μικρό απόσπασμα από το ποίημα της Elizabeth Bartlett που αντικατοπτρίζει αυτό το συναίσθημα.
ΓΙΑΤΙ ΈΧΩ ΖΗΣΕΙ
Επειδή λαχταρούσα
Να κατανοήσω το άπειρο
Έσυρα μια γραμμή
Μεταξύ του γνωστού και του άγνωστου.
Οι προσπάθειες να οργανωθεί η έννοια του άπειρου μαθηματικά εμφανίζονται ήδη από το 100 π.Χ. στην ινδική θρησκευτική λογοτεχνία. Αλλά, μέχρι το τέλος του 19ου αιώνα, τέτοιες προσπάθειες δεν κατάφεραν να αναπαραστήσουν το άπειρο με επαρκή μαθηματική αυστηρότητα για να επιτρέψουν βαθύτερη κατανόηση και ικανότητα να χειριστούν την έννοια μαθηματικά. Ένας άνθρωπος, ο Georg Cantor (1845-1918), είναι υπεύθυνος τόσο για την αυστηρή μαθηματική αναπαράσταση του άπειρου όσο και για την ανάπτυξη της Θεωρίας Συνόλων -της ‘γλώσσας’ που επέτρεψε στους μαθηματικούς να δουλέψουν με την έννοια του άπειρου. Παρακάτω είναι οι στίχοι, το ‘Hotel Infinity’, από τον ‘Μαθη-μουσικό’ Lawrence Mark (Larry) Lesser, που παρέχει ένα χιουμοριστικό τρόπο κατανόησης κάποιων ιδιοτήτων των μετρήσιμων άπειρων που ανακαλύφθηκαν από τον Cantor.
ΞΕΝΟΔΟΧΕΙΟ ΤΟ ΆΠΕΙΡΟ
(Τραγουδιέται στον σκοπό του Eagles ‘Hotel California’, 1976)
Σε ένα σκοτεινό έρημο αυτοκινητόδρομο -όχι πολύ γραφικό
Εκτός από αυτό το μακρύ ξενοδοχείο απλωμένο όσο μπορούσα να δω.
Στην επιγραφή νέον μπροστά διάβασα ‘Δεν υπάρχουν δωμάτια’,
Αλλά ήταν αργά και ήμουν κουρασμένος, έτσι πήγα μέσα να ζητήσω.
Ο υπάλληλος είπε: «Δεν υπάρχει πρόβλημα. Να τι μπορεί να γίνει –
Θα τους μεταφέρουμε από το ένα δωμάτιο στο αμέσως επόμενο.
Αυτό θα απελευθερώσει το πρώτο δωμάτιο και εκεί μπορείτε να μείνετε».
Προσπάθησα να το καταλάβω καθώς τον άκουσα να λέει:
ΧΟΡΟΣ: «Καλώς ήλθατε στο ΞΕΝΟΔΟΧΕΙΟ το ΆΠΕΙΡΟ-
Όπου κάθε δωμάτιο είναι γεμάτο (κάθε δωμάτιο είναι γεμάτο)
Ωστόσο, υπάρχουν περιθώρια για περισσότερα.
Ναι, άφθονα δωμάτια στο ΞΕΝΟΔΟΧΕΙΟ το ΆΠΕΙΡΟ-
Μετακινήστε τα προς τα κάτω (μετακινήστε τα προς τα κάτω)
Για να κάνετε χώρο για περισσότερα».
Είχα μόλις εγκατασταθεί, τελικά ξεπακετάριζα
Όταν είδα άλλα 8 αυτοκίνητα να σταθμεύουν πίσω.
Έπρεπε να μετακομίσω στο δωμάτιο 9˙ άλλοι μετακινήθηκαν μέχρι και 8 δωμάτια.
Ποτέ πια δεν θα μπερδέψω ένα Hilton με ένα ξενοδοχείο Hilbert!
Το μυαλό μου πήρε στροφές όταν είδα ένα λεωφορείο χωρίς τέλος
Με άπειρο αριθμό επιβατών να έρχονται για να κάνουν check in.
«Χαλαρώστε», δήλωσε ο νυχτερινός. «Να τι θα κάνουμε:
Μετακινηθείτε στο διπλάσιο του αριθμού δωματίου σας:
Αυτό ελευθερώνει τα μονά δωμάτια».
(Επαναλάβατε τον χορό)
Το τελευταίο πράγμα που θυμάμαι στο τέλος της παραμονής μου –
Ήρθε η ώρα να πληρώσω τον λογαριασμό, αλλά δεν είχα κανένα τρόπο.
Ο άντρας του 19 χαμογέλασε, «ο λογαριασμός σας είναι δικός μου.
Το 20 πληρώνει τον δικό μου, και ούτω καθεξής, έτσι ο δικός σας είναι δωρεάν!».
Οι ανακαλύψεις του Cantor, που αφορούν επίσης τον τομέα της φιλοσοφίας και της θρησκείας, είχαν βαθιές επιπτώσεις στην ανάπτυξη των Μαθηματικών. Με την εισαγωγή της μη Ευκλείδειας Γεωμετρίας και της Θεωρίας Ομάδων και των καινοτομιών στον Λογισμό -με το άπειρο άθροισμα και τις απειροστές ποσότητες- τα Μαθηματικά γίνονται όλο και πιο αφηρημένα και απομακρύνονται από τον φυσικό κόσμο. Για να συνεχιστεί η πορεία προς αυτή την κατεύθυνση, χρειαζόταν η ανακάλυψη νέων εργαλείων που θα βοηθήσουν όχι μόνο στην απόδειξη των θεωρημάτων, αλλά και στην επικύρωση της εγγενούς ‘αλήθειας’ τους. Η Θεωρία Συνόλων του Cantor και η ενασχόλησή του με το άπειρο προσέφεραν την απαραίτητη εργαλειοθήκη και ως εκ τούτου είχαν τους θαυμαστές και τους επικριτές τους. Το ποίημα της Emily Grosholz ‘Reflections on the Transfinite’ ρίχνει μια ματιά στα αμφιλεγόμενα συναισθήματα αυτής της αντίθεσης.
ΣΤΟΧΑΣΜΟΙ ΓΙΑ ΤΟ ΥΠΕΡΠΕΠΕΡΑΣΜΕΝΟ
Διαβάζοντας για τον πύργο ή το τεράστιο δέντρο
των διατακτικών αριθμών, σκέφτομαι πώς ο Cantor μεγάλωσε
κι έγινε πιο σοφός και πιο τρελός, προσπαθώντας να σώσει
το δικό του δέντρο του Ιεσσαί από τα ψαλίδια κλαδέματος
και την κηπουρική του Kronecker˙
αν και πρέπει να μοιραστώ την αίσθηση του τελευταίου
για τους φυσικούς αριθμούς, εκείνους που είναι απατηλά
καλά διαταγμένοι, διακριτά πλάσματα, που εμφανίζονται
διαφανή όσο αυξάνονται, αλλά συνολικά
μεταξύ τους είναι εντελώς ακατάληπτοι.
Ονειρευόμενη για τους πληθικούς αριθμούς, τη νύχτα,
τα αλέφ φλεγόμενα σαν κηροπήγιο,
Σε βλέπω στη σοφίτα του σπιτιού σου.
………………………………
«Τα Μαθηματικά μπορεί να οριστούν ως το αντικείμενο στο οποίο δεν γνωρίζουμε ποτέ για τι μιλάμε, ούτε αν αυτό που λέμε είναι αλήθεια». Αυτή η κυνική άποψη των Μαθηματικών αποδίδεται στον Bertrand Russell (1872-1970). Η ευκαιρία του ήταν η ανακάλυψη ενός παράδοξου στη Θεωρία Συνόλων του Cantor. Μια μη μαθηματική εκδοχή αυτού του παράδοξου, γνωστού ως ‘το παράδοξο του κουρέα’, μπορεί να αποδοθεί ως εξής: Σε ένα χωριό υπάρχει μόνο ένας κουρέας ο οποίος ξυρίζει όσους δεν ξυρίζονται μόνοι τους. Ποιός ξυρίζει τον κουρέα; Ξυρίζει ή δεν ξυρίζει τον εαυτό του; Αν το κάνει, δεν το κάνει και αν δεν το κάνει, το κάνει. Το παράδοξο του Russell υπονόμευσε τα θεμέλια των Μαθηματικών. Σε μια προσπάθεια να αποκαταστήσει τη ζημιά, ο Russell δημοσίευσε μια ανάλυση για αυτό το παράδοξο στο κοινό έργο του με τον Alfred North Whitehead (1861-1947), Principia Mathematica.
Αυτό το έργο προσπαθεί να ανάγει τα θεμέλια των Μαθηματικών στη Λογική. Μαζί με το έργο του Hilbert για τον φορμαλισμό, είχε σημαντική επιρροή στην προώθηση της αξιωματικής προσέγγισης των Μαθηματικών, που ήταν ένα από τα κύρια χαρακτηριστικά του αντικειμένου σε όλο τον 20ο αιώνα. Αυτή η προσέγγιση αντιμετώπισε σοβαρό πλήγμα από το αποτέλεσμα του Kurt Godel (1906-1978) που είναι γνωστό ως: Θεώρημα μη πληρότητας του Godel. Το Θεώρημα αναφέρει ότι όλοι οι συνεπείς σχηματισμοί της Θεωρίας Αριθμών περιλαμβάνουν αναποφάσιστες προτάσεις. Επομένως, τα Μαθηματικά έχουν δηλώσεις που δεν μπορούν ούτε να αποδειχθούν ούτε να διαψευστούν. Ένα σχετικό αποτέλεσμα, που είναι μερικές φορές γνωστό ως το δεύτερο Θεώρημα μη πληρότητας του Godel, μπορεί να διατυπωθεί στην καθομιλουμένη ως εξής: κάθε τυπικό σύστημα που είναι αρκετά ενδιαφέρον για να διατυπώσει τη δική του συνέπεια, μπορεί να αποδείξει τη συνέπειά του αν και μόνο αν είναι ασυνεπές. Συγκεκριμένα, η συνέπεια των αξιωμάτων των Μαθηματικών δεν μπορεί να αποδειχθεί μέσα στο σύστημα. Παρακάτω είναι ένα απόσπασμα του ποιήματος του Hans Magnus Enzesberger ‘Homage to Godel’.
HOMAGE TO GODEL
Το θεώρημα του Gödel μπορεί να φαίνεται,
σε πρώτη ματιά,
μάλλον απερίγραπτο,
αλλά παρακαλώ θυμήσου:
ο Gödel έχει δίκιο.
«Σε κάθε επαρκώς πλούσιο σύστημα
είναι δυνατό να σχηματίζονται δηλώσεις
που δεν μπορούν ούτε να αποδειχτούν
ούτε να απορριφθούν μέσα στο σύστημα
εκτός αν το σύστημα καθαυτό είναι ασυνεπές».
Μπορείς τη γλώσσα σου να περιγράψεις
με τη γλώσσα σου:
μα όχι εντελώς.
Μπορείς τον εγκέφαλό σου να εξερευνήσεις
με τρόπους του εγκεφάλου σου:
μα όχι εντελώς.
κτλ.
Για να αποδείξει την αλήθεια
κάθε κατανοητό σύστημα
πρέπει να υπερβεί τον εαυτό του, και αυτό σημαίνει
να τον καταστρέψει.
«Επαρκώς πλούσιο» ή όχι:
Η ελευθερία από αντιφάσεις
είναι είτε σύμπτωμα ανεπάρκειας,
ή ισοδυναμεί με αντίφαση.
(Βεβαιότητα = Ασυνέπεια)
Το αποτέλεσμα της μη πληρότητας του Godel θεωρείται ως ένα από τα πιο αξιοσημείωτα επιτεύγματα των Μαθηματικών του 20ο αιώνα. Έχει τεράστιο αντίκτυπο όχι μόνο στα Μαθηματικά, αλλά και σε άλλους τομείς όπως η επιστήμη των υπολογιστών και η φιλοσοφία. Στην πραγματικότητα, το έργο του Godel για τις παγκόσμιες τυπικές γλώσσες και τα όρια απόδειξης και υπολογισμών έθεσε τα θεμέλια της θεωρητικής επιστήμης των υπολογιστών. Η βεβαιότητα ότι γνωρίζουμε την ακριβή έκταση της αβεβαιότητας που είναι εγγενής στο σύστημα είχε το ευεργετικό αποτέλεσμα της εξάλειψης των ασαφειών και του επαναπροσανατολισμού του στόχου. Δεν μείωσε την αφοσίωση με την οποία οι μαθηματικοί ασκούν το επάγγελμά τους, ούτε την καταπληκτική ικανότητά τους να περιγράψουν τα φυσικά φαινόμενα με ουσιαστικούς και εφαρμόσιμους τρόπους.
Επιλεγόμενα
Έννοιες όπως το άπειρο, το υπερπεπερασμένο, τα παράδοξα, η μη πληρότητα του Godel, μαζί με άλλες, βρίσκονται στα θεμέλια των Μαθηματικών, αλλά ταυτόχρονα εμπνέουν ποιητές και μαθηματικούς. Όλα αυτά περιλαμβάνονται σε αυτό που λέγεται ‘Ποίηση που εμπνέεται από τα Μαθηματικά’ και αποτελεί μια διάσταση στη μελέτη του γενικότερου ζητήματος ‘Ποίηση και Μαθηματικά’. Απειλώ ότι θα επανέλθω σύντομα –I shall come back soon– γιατί υπάρχουν και άλλα μαθηματικά θέματα που εμπνέουν τους ποιητές, αλλά και τους ίδιους τους μαθηματικούς.
Πηγές Πληροφορίας
Glaz, S. (2011). Poetry inspired by mathematics: a brief journey through history. Journal of Mathematics and the Arts, 5(4), 171–183. [Όπου και εκτενής βιβλιογραφία].
Birken, M. and Coon, A. C. (2008). Discovering Patterns in Mathematics and Poetry. Editions Rodopi B.V., Amsterdam-NY.
Enzensberger, H. M. (1999). Selected poems by H. M. Enzensberger. Translators H. M. Enzensberger, M. Hamburger, R. Dove, and F. Viebahn. The Sheep Meadow Press, Riverdale-on-Hudson, NY.
Glaz, S. (2010). Poetry inspired by mathematics. Proceedings of Bridges Pecs: Mathematics, Music, Art, Architecture, Culture. R. Sarhangi and G. Hart (eds.), Tessellations Publishing, Phoenix, AZ, pp. 35–43.
Glaz, S. and Growney, J. (eds.) (2008). Strange Attractors: Poems of Love and Mathematics. A K Peters, Wellesley, MA.
Grosholz, E. (1984). The River Painter. University of Illinois Press, Urbana-Champaign, IL.
Growney, J. Intersections – poetry with mathematics. http://www.poetrywithmathematics.blogspot.com/.
Lesser, L. M. (2006). Hotel Infinity. Am. Math. Monthly, 113, 704.
Pappas, T. (1995). The Music of Reason. Wide World Publishing/ Tetra, San Carlos, CA.
Robson, E. and J. Wimp (eds.) (1979). Against Infinity. Primary Press, Parker Ford, PA.
WolframMathWorld, Godel’s Incompleteness Theorem. http://mathworld.wolfram.com/GoedelsIncompleteness Theorem.html
