Είχαμε κάνει σε προηγούμενες αναρτήσεις αναφορές στην Ομάδα OULIPO, η οποία είχε ως στόχο να δουλεύουν μαζί μαθηματικοί και συγγραφείς προσπαθώντας να παράξουν το καλύτερο δυνατό αποτέλεσμα προς όφελος της λογοτεχνίας. Θεωρούν ότι τα Μαθηματικά προσφέρουν χιλιάδες κατευθύνσεις διερεύνησης. Η μέθοδος που χρησιμοποιούν είναι, μεταξύ άλλων, και η Συνδυαστική Ανάλυση.
- Νόμος Α: Μεταθέσεις.
1.1 Ορισμός: Αν δοθούνε ν διαφορετικές λέξεις, για παράδειγμα 2, 3, 4 κτλ., τότε κάθε κατάταξη αυτών σε μια σειρά λέγεται Μετάθεση αυτών των ν λέξεων.
1.2 Παρατήρηση: Κάθε Μετάθεση πρέπει να περιέχει όλες τις λέξεις και να διαφέρει από την άλλη στη θέση μιας τουλάχιστον από τις λέξεις. Δηλαδή, εννοείται ότι δύο Μεταθέσεις των ν λέξεων είναι διαφορετικές όταν κάποια από τις ν λέξεις βρίσκεται τοποθετημένη σε διαφορετική θέση μέσα σε αυτές. Συνεπώς, το πλήθος των Μεταθέσεων των ν λέξεων είναι ίσο με το πλήθος όλων των δυνατών παρατάξεών τους σε μια σειρά. Το πλήθος αυτό παριστάνουμε με Μν.
1.3 Σχηματισμός και πλήθος των μεταθέσεων: Οι Μεταθέσεις δύο λέξεων α και β είναι: αβ και βα, ώστε Μ2=2 (1×2).
Των τριών λέξεων α, β, γ είναι: αβγ, αγβ, βαγ, βγα, γαβ, γβα, ώστε Μ3=6 (1x2x3).
Των τεσσάρων λέξεων α, β, γ, δ είναι: αβγδ, αβδγ, αγβδ, αγδβ, αδβγ, αδγβ,
βαγδ, βαδγ, βγαδ, βγδα, βδαγ, βδγα,
γαβδ, γαδβ, γβαδ, γβδα, γδαβ, γδβα,
δαβγ, δαγβ, δβαγ, δβγα, δγαβ, δγβα, ώστε Μ4=24 (1x2x3x4).
Τελικά βρίσκουμε ένα γενικό τύπο της μορφής:
Μν=1x2x3x…xν= ν! [διαβάζεται ν παραγοντικό].
Δηλαδή, το πλήθος των Μεταθέσεων των ν διαφορετικών λέξεων είναι ίσο με το γινόμενο των ν πρώτων διαδοχικών ακέραιων αριθμών.
1.4 Παράδειγμα: Κατά πόσους τρόπους μπορούμε να γράψουμε μια φράση που αποτελείται από 4 λέξεις.
Είναι φανερό ότι υπάρχουν τόσοι τρόποι όσες είναι οι Μεταθέσεις των 4 λέξεων, δηλαδή Μ4=24 τρόποι. Φυσικά αυτές οι φράσεις δεν είναι όλες συντακτικά ορθές και κατά συνέπεια δεν έχουνε όλες νόημα και ακόμα πολλές από τις ορθές δεν έχουνε το νόημα της αρχικής. Αυτή η παρατήρηση ισχύει και στα επόμενα παραδείγματα.
2. Νόμος Β: Διατάξεις.
2.1 Ορισμός: Ονομάζεται Διάταξη ν διαφορετικών λέξεων ανά μ κάθε κατάταξη σε σειρά μ λέξεων που τις έχουμε πάρει από τις ν.
2.2 Παρατήρηση: Εννοείται ότι το μ είναι μικρότερο ή ίσο με το ν. Είναι ακόμη φανερό ότι, οι Διατάξεις είναι Μεταθέσεις, αλλά όχι συγχρόνως όλων των λέξεων. Δύο τυχαίες Διατάξεις διαφέρουν είτε κατά μια τουλάχιστον λέξη είτε στη θέση των λέξεων. Σε κάθε Διάταξη λοιπόν παίζει ρόλο όχι μόνο ποιες λέξεις θα πάρουμε από τις ν αλλά και πώς θα τοποθετήσουμε τις μ αυτές λέξεις σε σειρά. Συνεπώς, το πλήθος των Διατάξεων των ν ανά μ είναι ίσο με το πλήθος των τρόπων με τους οποίους από τις ν λέξεις μπορούμε να πάρουμε τις μ και να τις Μεταθέσουμε. Το πλήθος αυτό παριστάνουμε με Δν/μ.
2.3 Σχηματισμός και πλήθος των Διατάξεων: Οι Διατάξεις των ν λέξεων α, β, γ,…,κ, λ ανά μία είναι: α, β, γ,…,κ, λ. Ώστε Δν/1=ν.
Των ν λέξεων ανά δύο είναι: αβ, αγ, αδ,…,αλ και βα, βγ, βδ,…,βλ και γα, γβ, γδ,…γλ, …, και λα, λβ, λγ,…,λκ. Είναι λοιπόν: Δν/2=νx(ν-1). Τελικά βρίσκουμε ένα γενικό τύπο της μορφής:
Δν/μ= νx(ν-1)x(ν-2)x…x(ν-μ+1).
Δηλαδή, το πλήθος των Διατάξεων των ν λέξεων ανά μ είναι ίσο με το γινόμενο των μ διαδοχικών ακέραιων αριθμών από το ν και κάτω.
2.4 Παράδειγμα: Ένας ποιητής διαθέτοντας 9 λέξεις θέλει να φτιάξει μικρά ποιήματα των 5 λέξεων (ας πούμε χάικου). Με πόσους τρόπους μπορεί να το κάνει.
Για να φτιάξει ένα τέτοιο ποίημα πρέπει να επιλέξει 5 από τις 9 λέξεις και να τις γράψει με τη σειρά που θέλει να εμφανιστούν στο ποίημα. Επομένως, πρέπει να σχηματίσει μια Διάταξη των 9 ανά 5. Το πλήθος λοιπόν των ποιημάτων που μπορεί να κατασκευάσει είναι: Δ9/5=9x8x7x6x5=15120.
3. Νόμος Γ: Συνδυασμοί.
3.1 Ορισμός: Ονομάζεται Συνδυασμός των ν λέξεων ανά μ κάθε ομάδα από μ λέξεις που τις έχουμε πάρει από τις ν παραβλέποντας την κατάταξή τους σε σειρά.
3.2 Παρατήρηση: Εννοείται ότι είναι το μ μικρότερο ή ίσο με το ν. Ακόμη, δύο Συνδυασμοί των ν λέξεων ανά μ είναι διαφορετικοί μόνον όταν δεν αποτελούνται από τις ίδιες λέξεις. Συνεπώς, το πλήθος των Συνδυασμών των ν ανά μ είναι ίσο με το πλήθος των διαφορετικών τρόπων με τους οποίους μπορούμε να πάρουμε μ λέξεις από τις ν χωρίς να γίνει κατάταξη. Το πλήθος αυτό παριστάνουμε με Σν/μ.
3.3 Σχηματισμός και πλήθος των Συνδυασμών: Οι Συνδυασμοί τριών λέξεων α, β, γ ανά δύο είναι: αβ, αγ, βγ, ώστε Σ3/2=3.
Των τεσσάρων λέξεων α, β, γ, δ ανά δύο είναι: αβ, αγ, αδ, βγ, βδ, γδ, ώστε Σ4/2=6.
Οι Συνδυασμοί των ν λέξεων α, β, γ,…,κ, λ ανά δύο είναι: αβ, αγ, αδ,…,αλ και βγ, βδ,…,βλ και γδ,…,γλ, …, και κλ. Τελικά βρίσκουμε ένα γενικό τύπο της μορφής:
Σν/μ= ν!/μ!x(ν-μ)!
3.4 Παράδειγμα: Διαθέτουμε 12 ρήματα, 3 επίθετα και 80 άλλες διάφορες λέξεις. Με πόσους διαφορετικούς τρόπους μπορεί να φτιαχτεί ένα κείμενο που να περιέχει 1 ρήμα, 1 επίθετο και 76 από τις άλλες λέξεις.
Οι 76 λέξεις μπορούν να εκλεγούν από τις 80 με τόσους τρόπους όσοι είναι οι Συνδυασμοί των 80 ανά 76, δηλαδή με Σ80/76 τρόπους. Το ένα ρήμα μπορεί να εκλεγεί από τα 12 με Σ12/1=12 τρόπους. Το ένα επίθετο μπορεί να εκλεγεί από τα 3 με Σ3/1=3 τρόπους. Κάθε ομάδα των 76 λέξεων μπορεί να Συνδυαστεί με κάθε ένα από τα 12 ρήματα, έχουμε έτσι Σ80/76×12 ομάδες. Κάθε μία από αυτές τις ομάδες μπορεί να Συνδυαστεί με κάθε ένα από τα 3 επίθετα. Επομένως, το πλήθος όλων των δυνατών κειμένων είναι: Σ80/76x12x3=77x78x79x80x12x3/1x2x3x4 ή 56936880.
4. Νόμος ΑΒΓ.
Η γενική σχέση που συνθέτει τους τρεις προηγούμενους Νόμους είναι:
Δν/μ = ΜνxΣν/μ
Δηλαδή, οι Διατάξεις των ν λέξεων ανά μ είναι ίσες με τις Μεταθέσεις των ν λέξεων επί τους Συνδυασμούς των ν λέξεων ανά μ.
- Συνδυαστική των Λέξεων
Παραθέτω τρία δικά μου παλαιά ποιήματα σύμφωνα με τον τρόπο της Συνδυαστικής Ανάλυσης:
ΠΑΡΑΛΛΑΓΕΣ ΣΕ ΜΙΑ ΦΡΑΣΗ
Ι. ‘Λέξεις χαλίκια σε ήσυχα νερά’
Λέξεις χαλίκια σε ήσυχα νερά
Λέξεις σε ήσυχα νερά χαλίκια
Χαλίκια λέξεις σε ήσυχα νερά
Χαλίκια σε ήσυχα νερά λέξεις
Σε ήσυχα νερά λέξεις χαλίκια
Σε ήσυχα νερά χαλίκια λέξεις.
Λέξεις σε ήσυχα χαλίκια νερά
Λέξεις νερά σε ήσυχα χαλίκια
Σε ήσυχα χαλίκια λέξεις νερά
Σε ήσυχα χαλίκια νερά λέξεις
Νερά λέξεις σε ήσυχα χαλίκια
Νερά σε ήσυχα χαλίκια λέξεις.
*
* *
ΙΙ. ‘Καλή κόρη του ήλιου’
Καλή
κόρη
του ήλιου.
Καλή κόρη
καλή του ήλιου
κόρη του ήλιου
κόρη καλή
του ήλιου καλή
του ήλιου κόρη.
Καλή κόρη του ήλιου
καλή του ήλιου κόρη
κόρη καλή του ήλιου
κόρη του ήλιου καλή
του ήλιου καλή κόρη
του ήλιου κόρη καλή.
*
* *
ΙΙΙ. ‘ Ήμουνα φιλί/ Έστελνε τις νύχτες ο Θεός/ Σε φιλούσε όλη’
Ήμουνα φιλί
Φιλί ήμουνα
Έστελνε τις νύχτες ο Θεός
Έστελνε ο Θεός τις νύχτες
Τις νύχτες έστελνε ο Θεός
Τις νύχτες ο Θεός έστελνε
Ο Θεός έστελνε τις νύχτες
Ο Θεός τις νύχτες έστελνε
Σε φιλούσε όλη
Όλη Σε φιλούσε.
Εδώ μπορούμε, κυριολεκτικά, να κατασκευάσουμε εκατοντάδες ποιήματα, τα πλέον απλά είναι 24 (2x6x2), από τα οποία μπορούμε να επιλέξουμε το κατά την κρίση μας καλύτερο. Δεν επέλεξα κάποιο, αφού αυθόρμητα βγήκε η αρχική μορφή του τρίστιχου και αυτή δημοσιεύτηκε, ο πειραματισμός και το παιχνίδι έγιναν αργότερα.
- Έξοδος
Μπορεί κάποιος να παίξει με αυτό τον τρόπο κατασκευάζοντας ‘ισοδύναμα’ κείμενα ή ποιήματα, μπορεί να επιλέξει την καλύτερη φράση ή τον καλύτερο στίχο και μπορεί ακόμα να ξαφνιαστεί ευχάριστα βλέποντας μια έκφραση που δεν είχε σκεφτεί εξαρχής. Σήμερα πάντως υπάρχουν προγράμματα για Η/Υ που, δίνοντας τις λέξεις που θέλεις, παράγουν αυτόματα όλες αυτούς τους συνδυασμούς. Η κατασκευή των κειμένων είναι ζήτημα ‘αντικειμενικό’, αφού γίνεται με βάση μαθηματικούς νόμους, η επιλογή όμως του καλύτερου είναι ‘υποκειμενική’, αφού αυτή γίνεται με βάση τη νοητική και αισθητική αντίληψη του κατασκευαστή.
