Δεν μπορούμε να βρούμε καλύτερο ποίημα για το θέμα μας από το “Let Us Now Praise Prime Numbers” της βρετανίδας ποιήτριας Helen Spalding (1920-1991). Το ποίημα συλλαμβάνει στοιχεία που έχουν κάνει τους πρώτους αντικείμενο γοητείας από την εποχή του Ευκλείδη.

Helen Spalding

Let Us Now Praise Prime Numbers

Let us now praise prime numbers
With our fathers who begat us:
The power, the peculiar glory of prime numbers
Is that nothing begat them,
No ancestors, no factors,
Adams among the multiplied generations.

None can foretell their coming.
Among the ordinal numbers
They do not reserve their seats, arrive unexpected.
Along the lines of cardinals
They rise like surprising pontiffs,
Each absolute, inscrutable, self-elected.

In the beginning where chaos
Ends and zero resolves,
They crowd the foreground prodigal as forest,
But middle distance thins them,
Far distance to infinity
Yields them rare as unreturning comets.

O prime improbable numbers,
Long may formula-hunters
Steam in abstraction, waste to skeleton patience:
Stay non-conformist, nuisance,
Phenomena irreducible
To system, sequence, pattern or explanation.

Ας Επαινέσουμε Τώρα τους Πρώτους Αριθμούς

Ας επαινέσουμε τώρα τους πρώτους αριθμούς

Με τους πατέρες που μας γέννησαν:

Η δύναμη, η ιδιόμορφη δόξα των πρώτων αριθμών

Είναι ότι δεν τους γέννησε τίποτα,

Χωρίς προγόνους, χωρίς παράγοντες,

Οι Αδάμ ανάμεσα στις πολλαπλές γενιές.

Κανένας δεν μπορεί να προβλέψει τον ερχομό τους.

Ανάμεσα στους διατακτικούς αριθμούς

Δεν κρατούν τις θέσεις τους, φτάνουν απροσδόκητα.

Στις γραμμές των πληθικών αριθμών

Σηκώνονται σαν έκπληκτοι ποντίφικες,

Καθένας απόλυτος, ανεξιχνίαστος, αυτο-εκλεγμένος.

Στην αρχή όπου το χάος

Τελειώνει και το μηδέν διαλύεται,

Γεμίζουν το προσκήνιο άφθονοι σαν δάσος,

Αλλά η μέση απόσταση τους αραιώνει,

Μεγάλη απόσταση από το άπειρο

Δίνει σπάνιους σαν κομήτες που δεν επιστρέφουν.

Ω πρώτοι απίθανοι αριθμοί,

Μακροχρόνιοι κυνηγοί τύπου

Μπαίνετε στην αφαίρεση, υπολείμματα υπομονής του σκελετού:

Μείνετε αντικομφορμιστές, ενόχληση,

Φαινόμενα μη αναγώγιμα

Στο σύστημα, την ακολουθία, το μοτίβο ή την εξήγηση.

* *

Η πρώτη στροφή του ποιήματος αναφέρεται στο Θεμελιώδες Θεώρημα της Αριθμητικής. Αυτό το θεώρημα δηλώνει ότι κάθε θετικός ακέραιος μεγαλύτερος από 1 είναι είτε πρώτος αριθμός είτε μπορεί να εκφραστεί ως μοναδικό γινόμενο πρώτων αριθμών. Έτσι, οι πρώτοι είναι τα δομικά στοιχεία των ακέραιων και, κατά συνέπεια, ολόκληρου του συστήματος πραγματικών αριθμών.

Στη δεύτερη και τρίτη στροφή, η Spalding προτείνει τον τρόπο με τον οποίο εμφανίζονται οι πρώτοι αριθμοί μεταξύ των άλλων αριθμών: διασκορπισμένοι χωρίς διακριτό μοτίβο, εξαφανίζονται και εμφανίζονται λιγότερο συχνά καθώς οι αριθμοί μεγαλώνουν. Ωστόσο, παρά τη μείωση της συχνότητας, υπάρχει άπειρος αριθμός πρώτων. Η απόδειξη του Ευκλείδη για το άπειρο των πρώτων αριθμών, περίπου το 300 π.Χ., θεωρείται μια από τις πιο κομψές αποδείξεις στα Μαθηματικά –ποιητικά Μαθηματικά: ένα ποίημα από μόνο του. Το επιστημονικό έργο γενικά και ειδικά το μαθηματικό, που είναι καθαρά εννοιολογικό, μπορεί πράγματι να έχει την εμφάνιση ομορφιάς, λόγω της εσωτερικής συνοχής που μοιράζεται με την καλή τέχνη.

Στην τελική στροφή του ποιήματος, η Spalding αγγίζει ένα από τα βαθιά μυστήρια που σχετίζονται με τους πρώτους αριθμούς: την αδυναμία μας να τους εντοπίσουμε με ένα μαθηματικό τύπο. Οι πρώτοι αριθμοί μικρότεροι από έναν δεδομένο αριθμό Ν μπορούν να βρεθούν μέσω μιας τεχνικής που λέγεται ‘κόσκινο του Ερατοσθένη’ -που ονομάστηκε έτσι προς τιμή του Ερατοσθένη, του Έλληνα μαθηματικού που το ανακάλυψε. Το ‘κοσκίνισμα’ αποτελείται από ένα απλό τεστ διαίρεσης και τη συστηματική διαγραφή όλων των πολλαπλασίων των πρώτων αριθμών έως τον μεγαλύτερο πρώτο που είναι μικρότερος από την τετραγωνική ρίζα του Ν. Η μέθοδος λειτουργεί καλύτερα όταν το Ν είναι μικρό.

Από την εποχή του Ερατοσθένη, εφευρέθηκαν πολλές τεχνικές για να ‘πιάσουν’ πρώτους αριθμούς, αλλά μέχρι στιγμής δεν έχει βρεθεί φόρμουλα που να τους καλύπτει όλους. Συγκεκριμένα, είναι εξαιρετικά δύσκολο να παράγουμε πολύ μεγάλους πρώτους. Κανένα μοτίβο δεν βρέθηκε να προβλέπει την κατανομή τους εντός δεδομένου διαστήματος αριθμών.

* *

Οι πρώτοι αριθμοί, εκτός των άλλων εφαρμογών τους, προσφέρουν επίσης αυτό που αποκαλείται ‘πολιτιστικές συνδέσεις’ (cultural connections). Αυτές οι πολιτιστικές συνδέσεις εκδηλώνονται στην Ποίηση με διάφορους τρόπους. Η έννοια της πρωταρχικότητας, που προέρχεται από τους πρώτους αριθμούς, χρησιμοποιείται σε ποιήματα ως μεταφορά για τα μυστήρια της ζωής και της ανθρώπινης συμπεριφοράς.

Το βάθος της πολιτιστικής σύνδεσης μεταξύ των πρώτων και της Ποίησης γίνεται πιο εμφανές όταν εξετάζουμε τη συμπερίληψη συγκεκριμένων πρώτων αριθμών στα ποιήματα. Η συγγένεια μεταξύ αριθμών και λέξεων έχει τις ρίζες της στην εφεύρεση της αλφαβητικής γραφής, όταν οι αριθμοί συμβολίζονταν με γράμματα του αλφαβήτου -στα ελληνικά για παράδειγμα α=1, β=2, κτλ. Στην αρχαία Ποίηση, ειδικά στον τομέα της μαγείας, του μυστικισμού και της μαντείας, κάθε λέξη απέκτησε την τιμή αριθμού του αθροίσματος των γραμμάτων της και κάθε αριθμός πέτυχε τις συμβολικές τιμές μιας ή περισσοτέρων λέξεων στην ορθογραφία των οποίων εμφανίστηκε.

Οι 3 και 7 ήταν κορυφαίοι μεταξύ των μυστικών αριθμών σε όλες τις εποχές και μεταξύ όλων των ανθρώπων. Αυτό, διότι οι 3 και 7 είναι από τους αρχικούς πρώτους αριθμούς -περιττοί, δεν παραγοντοποιούνται,  κατέχουν διάφορες ιδιότυπες ιδιότητες. Με άλλα λόγια, οι 3 και 7 απέκτησαν μια ιδιαίτερη σημασία ακριβώς λόγω της πρωταρχικότητας/ πρωτοτυπίας τους. Υπόλοιπα τέτοιας σημασίας, σε συνδυασμό με στρώματα πολιτιστικής, κοινωνιολογικής και ιστορικής σημασίας, επιτρέπουν στους πρώτους αριθμούς να προκαλέσουν ισχυρές εικόνες και συναισθήματα, τόσο προσωπικά όσο και συλλογικά. Τα ποιήματα με τον πρώτο αριθμό 7 αποτελούν παράδειγμα αυτού του αποτελέσματος. Κυρίως, ο 7 εμφανίζεται σε βασικά θρησκευτικά κείμενα, όπως στο κείμενο της Γένεσης, καθώς και στην Καινή Διαθήκη, το Κοράνι και άλλα. Ο 7 εμφανίζεται επίσης στο Έπος του Gilgamesh -γύρω στο 2.000 π.Χ.

Τις περισσότερες φορές, οι αριθμοί συμβάλλουν στη δομή ενός ποιήματος. Η μουσικότητα της Ποίησης δεν εξαρτάται μόνο από τις λέξεις όπως θεωρείται σήμερα, αλλά και από τα ποσοτικά δομήσιμα στοιχεία και η παλαιότερη Ποίηση βασίζεται στην καταμέτρηση (Μετρική): μέτρο, μετρικοί πόδες, λέξεις ποιήματος, μήκος στίχου, αριθμός στίχων σε μια στροφή, αριθμός στροφών στο ποίημα και άλλα. Ένα ορισμένο ποσό μαθηματικού υπολογισμού, είτε τυπικό είτε διαισθητικό, εμπλέκεται και στον ελεύθερο στίχο και ορισμένες μη παραδοσιακές ποιητικές δομές και διαδικασίες βασίζονται ρητά στις μαθηματικές ιδιότητες των πρώτων αριθμών.