1. Εισαγωγικά

 

Πριν από 230 χρόνια και εντελώς προφητικά, ο Βρετανός ποιητής Samuel Taylor Coleridge (1772-1834), γράφει σε επιστολή προς τον αδελφό του, George Coleridge: «Συχνά εκπλήσσομαι που τα Μαθηματικά, η πεμπτουσία της Αλήθειας, θα είχαν βρει τόσο λίγους θαυμαστές». Η επιστολή συνοδεύεται από ένα ποίημα που δίνει μια αναφορά για την απόδειξη της Πρότασης 1, από το Βιβλίο Ι των Στοιχείων του Ευκλείδη. Ο Coleridge λέει στον αδερφό του ότι το ποίημα είναι δείγμα από ένα πιο φιλόδοξο έργο, το οποίο προτίθεται να αναπαράγει όλα τα Στοιχεία του Ευκλείδη σε μια σειρά Πινδαρικών ωδών -το έργο δεν προχώρησε περαιτέρω.

 

Η Πρόταση 1, όπως θα δούμε πιο κάτω, δηλώνει ότι, δεδομένου ενός ευθύγραμμου τμήματος AB, μπορούμε να κατασκευάσουμε, χρησιμοποιώντας μόνο κανόνα και διαβήτη, ισόπλευρο τρίγωνο με πλευρά το ΑΒ.

 

Αλλά πώς του ήρθε η ιδέα να αναπαράγει τα Στοιχεία του Ευκλείδη σε Πινδαρικές ωδές; Οι σχολιαστές υποπτεύονται ότι ο Coleridge μπορεί να έχει ‘ενεργοποιηθεί’ στο σχετικό έργο από το A Philosophical Inquiry into the Origin of our Ideas of the Sublime and Beautiful του Burke. Αυτή η υπόνοια επιβεβαιώνεται από ένα ‘Prospectus and Specimen of a Translation’, δηλαδή ‘Ενημερωτικό Δελτίο και Δείγμα Μετάφρασης του Ευκλείδη σε μια σειρά Πινδαρικών Ωδών’, που ο Coleridge στέλνει στον αδελφό του στις 31 Μαρτίου 1791, καθώς τόσο το ‘Ενημερωτικό Δελτίο’ όσο και το συνοδευτικό ‘Δείγμα’ είναι εμπνευσμένα μόνο από το Philosophical Inquiry του Burke. Αν και οι ίδιοι το προόριζαν αυτό ως παιχνίδι, αποδεικνύεται πέρα από κάθε αμφιβολία ότι ο Coleridge έκανε σοβαρή μελέτη του έργου του Burke και του Ευκλείδη την εποχή εκείνη.

Ως motto για το ‘Ενημερωτικό Δελτίο’ του, ο Coleridge μετατρέπει την απολογία του Burke, ‘Δεν πρέπει να προσπαθούμε να πετάξουμε, όταν μπορούμε μόλις να προσποιούμαστε ότι έρπουμε’, σε άτεχνη ποίηση και υπογραμμίζει, στη συνέχεια, το γεγονός ότι η μετάφραση συνιστά μια καινοτομία.

 

2. Η Επιστολή του Coleridge προς τον Αδελφό του

 

Αν ο Πήγασος σου επιτρέψει μόνο να τον ιππεύσεις,

Σπρώχνοντας τις αδέξιες προσπάθειές μου να τον ξεπεράσω,

Κάποια νέα τεχνάσματα θα δοκιμάσει η Μούσα,

Και θα περπατήσει σε ξυλοπόδαρα, αν και δεν μπορεί να πετάξει.

 

προς τον αιδεσιμοτατο george coleridge

 

Αγαπητέ Αδελφέ,

 

Συχνά εκπλήσσομαι που τα Μαθηματικά, η πεμπτουσία της Αλήθειας, θα είχαν βρει τόσο λίγους θαυμαστές και τόσο άτολμους. Συχνός συλλογισμός και λεπτομερής έλεγχος επί μακρόν έχουν αποκαλύψει την αιτία, ότι δηλαδή, αν και ο Λόγος γιορτάζεται, η Φαντασία λιμοκτονεί. Ενώ ο Λόγος απολαμβάνει πολυτέλειες στον κατάλληλο Παράδεισό του, η Φαντασία με δυσκολία ταξιδεύει στη θλιβερή της έρημο. Το να βοηθήσουμε τον Λόγο με το ερέθισμα της Φαντασίας αποτελεί το σχέδιο του ακόλουθου έργου. Στην εκτέλεσή του, σε πολλά μπορεί κάποιος  να φέρει αντίρρηση.    

 

Η στροφή (ιδιαιτέρως στην εισαγωγή της Ωδής) μπορεί να κατηγορηθεί για αδικαιολόγητες ελευθερίες. Αλλά είναι ελευθερίες εξίσου ομογενείς με την ακρίβεια της Μαθηματικής έρευνας  και την Πινδαρική τόλμη. Έχω τρεις ισχυρούς μαχητές να με υπερασπιστούν ενάντια στις επιθέσεις της Κριτικής: Καινοτομία, Δυσκολία και Χρησιμότητα του Έργου. Ίσως να ικανοποιώ μόνο τον εαυτό μου, που εγώ πρώτος σχεδίασα τη Νύμφη Μάθηση (Mathesis) από τις οραματικές σπηλιές της Αφηρημένης Ιδέας, και την ώθησα να ενωθεί με την Αρμονία. Σου παρουσιάζω τώρα το πρωτότοκο αυτής της Ένωσης: κίνητρα που εμπεριέχουν πραγματικό ενδιαφέρον –αναμένοντας να λάβω ως επιστροφή τον πιο πολύτιμο απόγονο της δικής σου Μούσας-

 

Δικός σου για πάντα

1. S. T. C.

 

Νοσοκομείο Christ’s, Μαρτίου 31, 1791.

[πρωτοδημοσιεύτηκε το 1834].

 

3. Το Ποίημα του Coleridge σε Απόδοση στα Ελληνικά

 

Ένα Μαθηματικό Πρόβλημα

 

Αυτό είναι τώρα – αυτό ήταν και πριν,

Πρόταση πρώτη – και Πρόβλημα πρώτο.

 

Ι

Σε δοθείσα πεπερασμένη Γραμμή

Που δεν πρέπει να έχει κλίση˙

Να γράψουμε ισό-

-πλευρο Τρι-

-Γ, Ω, Ν, Ο.

Έστω τώρα AB

Η δοθείσα γραμμή

Που δεν πρέπει να έχει κλίση˙

Ο σπουδαίος μαθηματικός ⁽¹⁾

Θέτει αυτό το Αίτημα,

Ότι  γράφουμε Ισό-

-πλευρο Τρι-

-γωνο σε αυτή:

Βοήθησέ μας, Λόγε – βοήθησέ μας, Πνεύμα! ⁽²⁾

 

ΙΙ

Από το κέντρο Α στην απόσταση ΑΒ

Περιγράφουμε τον κύκλο BΓΔ

Στην απόσταση ΒΑ από το κέντρο Β

Ο κύκλος ΑΓΕ να περιγράψει τολμηρά το εγχείρημα.

(Βλέπε Τρίτο Αξίωμα). ⁽³⁾

Και από το σημείο Γ

Στo οποίo οι κύκλοι δημιουργούν ταραχή

Τέμνοντας βίαια ο ένας τον άλλο, ⁽⁴⁾

Προσφέρετε στις ευθείες γραμμές ένα ταξίδι, ⁽⁵⁾

ΓΑ, ΓΒ αυτές οι γραμμές θα εμφανιστούν.

Προς τα σημεία, που από το ΑΒ υπολογίζονται

Και το δεύτερο αξίωμα

Ως Αρχή που σεις γνωρίζετε.

ΑΒΓ

Θριαμβικό θα γίνει

Ένα Ισόπλευρο Τρίγωνο,

Ούτε ο Peter Pindar επικρίνει, ούτε ο Ζωΐλος μπορεί να διαφωνήσει. ⁽⁶⁾

 

III

Επειδή το σημείο Α είναι το κέντρο

Του κύκλου BΓΔ

Και επειδή το σημείο Β είναι το κέντρο

Του κύκλου ΑΓΕ ⁽⁷⁾

Το ΑΓ προς το ΑΒ και το ΒΓ προς το ΒΑ

Για πάντα πρέπει να μείνουν αρμονικά ίσα˙

Τότε τα ΓΑ και ΒΓ

Και τα δύο εκτείνουν το αβρό τους χέρι

Στη βάση, ΑΒ

Αδιαμφισβήτητα συνδέονται στης Ισότητας τη Σχέση.

Αλλά στις ίδιες δυνάμεις, όταν δύο δυνάμεις είναι ίσες,

Ο νους μου προμηνύει τη συνέχεια˙

Τον νου μου καθοδηγεί κάποια ουράνια ώθηση,

Και εξισώνει το ένα με το άλλο.

Έτσι το ΓΑ με το ΒΓ πετυχαίνουν την ίδια σίγουρη συμμαχία,

Που τα ΓΑ και ΒΓ είχαν πριν με το ΑΒ˙

Και στην αμοιβαία σχέση εμπιστοσύνης,

Κανένα δεν προσπαθεί να ανέλθει

Πάνω από το άλλο,

Τα ομόφωνα τρία

ΓΑ και ΒΓ και ΑΒ

Όλα είναι ίσα, καθένα προς τον αδελφό του,

Διατηρώντας την ισορροπία της δύναμης τόσο αληθή:

Αχ! Το ίδιο θα ’κανε ο περήφανος Autocratorix!

Στους φόρους που επίκεινται, η Βρετανία δεν θα έτρεμε,

Ούτε η Πρωσία αγωνίζεται τον φόβο της να διασκεδάσει˙

Ούτε το πλάσμα που έπλασε ο Μωάμεθ,

Ο σπουδαίος Μουσουλμάνος

Θα λερώσει το Ντιβάνι του

Με Ούρα, τη λεπτό-ρευστη κόρη του Φόβου.

 

IV
Αλλά συγκρατήστε το άτι σας, παράτολμοι Εννέα!

Πρέπει οι Αυτοκρατορίες να υπερβαίνουν την επιστημονική γραμμή;

Ή αναμαλλιασμένοι όλοι τρέχετε τρελά

Για την παραφορά σας που το έργο έχει γίνει;

Είναι για να γίνει -η αιτία έχει δοκιμαστεί!

Και η Πρόταση, ευγενική Κόρη,

Που ήρεμα ζήτησε βλοσυρή την αρωγή της Απόδειξης,

Έχει αποδείξει την ορθότητά της, και ΑΒΓ

Με τρεις Γωνίες

Δείχτηκε να είναι ίσης πλευράς˙

Και τώρα το κουρασμένο μας άτι για να ξεκουραστεί,

Ορθώνεται πάνω από την ΑΒ την ευθεία, τη δοθείσα γραμμή.

 

Λίγα Απαραίτητα Σχόλια

 

(1) Προσωποποίηση: Μια άποψη είναι ότι αναφέρεται στον Ευκλείδη˙ η άλλη ότι αυτό δεν αναφέρεται σε ένα συγκεκριμένο άτομο, αλλά σε ένα είδος πνεύματος που προσφέρει την πρόκλησή του.

(2) Αποστροφή: Τον Λόγο και το Πνεύμα δεν μπορείς να τα προσφωνήσεις, επειδή δεν είναι πραγματικά όντα με κατανοητές φωνές.

(3) Αναφορά: Ο Coleridge αναφέρεται στα Στοιχεία του Ευκλείδη, όπου το Τρίτο Αξίωμα δηλώνει ότι ένας κύκλος μπορεί να κατασκευαστεί από ένα ευθύγραμμο τμήμα χρησιμοποιώντας το ένα σημείο ως κέντρο και το μήκος του τμήματος ως ακτίνα.

(4) Προσωποποίηση: Ο Coleridge περιγράφει τους κύκλους σαν να εκτελούν σαφώς ανθρώπινες λειτουργίες, τις οποίες δεν είναι ικανά να κάνουν τα γεωμετρικά σχήματα.

(5) Προσωποποίηση: Οι γραμμές είναι γεωμετρικά αντικείμενα˙ δεν μπορούν να ‘ταξιδεύσουν’, καθαυτά, τουλάχιστον όχι με τις οδηγίες μας και χωρίς το μολύβι μας.

(6) Αναφορές: Το Peter Pindar ήταν το ψευδώνυμο του John Wolcott, βρετανού σατυρικού ποιητή του 1780.

Ο Ζωΐλος ήταν αρχαίος Έλληνας Γραμματικός, κυνικός φιλόσοφος, κριτικός, ρήτορας που επέκρινε τον Όμηρο και τον Πλάτωνα και του οποίου το όνομα συσχετίζεται πλέον με κακοήθεις επικρίσεις.

Με τις αναφορές αυτές ο Coleridge λέει ότι το προκύπτον ισόπλευρο τρίγωνο είναι τόσο τέλειο που δεν μπορεί να επικριθεί ούτε καν από αυτούς.

(7) Παράλληλη Δομή: Ο Coleridge χρησιμοποιεί ταυτόσημη δομή σε αυτό το σημείο για να τονίσει την ‘τετραγωνικότητα’ των Μαθηματικών. Με αυτό νοείται η ακρίβεια, απλότητα, δικαιοσύνη, ειλικρίνεια, ευθύτητα, ισότητα, οριστικότητα, σταθερότητα, τιμιότητα κτλ. που έχουν τα Μαθηματικά.

 

4. Επίμετρο

 

(α) Η Πρόταση 1 των Στοιχείων του Ευκλείδη

 

Για να κατανοήσουμε τι ακριβώς ‘τραγουδάει’ ο Coleridge πρέπει να έχουμε υπόψη την Πρόταση 1 από τα Στοιχεία του Ευκλείδη:

 Επί της δοθείσης πεπερασμένης ευθείας να κατασκευασθεί ισόπλευρο τρίγωνο. Έστω η πεπερασμένη ευθεία ΑΒ. Ζητείται να κατασκευασθεί επ’ αυτής ισόπλευρο τρίγωνο.

Με κέντρο το Α και ακτίνα την ΑΒ ας γραφεί κύκλος, ο ΒΓΔ, και πά­λι με κέντρο το Β, και ακτίνα τη ΒΑ ας γραφεί κύκλος, ο ΑΓΕ, και από το σημείο Γ στο οποίο τέμνονται μεταξύ τους οι κύκλοι ας αχθούν προς τα σημεία Α, Β οι ευθείες ΓΑ, ΓΒ.

Και επειδή το σημείο Α είναι κέντρο του κύκλου ΓΔΒ, η ΑΓ είναι ίση προς την ΑΒ˙ πάλι, επειδή το σημείο Β είναι κέντρο του κύκλου ΓΑΕ, η ΒΓ είναι ίση προς τη ΒΑ. Εδείχθη ότι η ΓΑ είναι ίση προς την ΑΒ· άρα έκαστη των ευθειών ΓΑ, ΓΒ είναι ίση προς την ΑΒ. Τα προς το αυτό ίσα είναι και μεταξύ τους ίσα˙ άρα και η ΓΑ είναι ίση προς την ΓΒ˙ άρα οι τρεις ευθείες ΓΑ, ΑΒ, ΒΓ είναι ίσες προς αλλήλας.

Άρα το τρίγωνο ΑΒΓ είναι ισόπλευρο. Και κατασκευάστηκε επί της δο­θείσης πεπερασμένης ευθείας ΑΒ. (Άρα επί της δοθείσης πεπερασμένης ευθείας κατασκευάσθηκε ισόπλευρο τρίγωνο)˙ όπερ έδει ποιήσαι.

 

 

 

 

Να σημειώσουμε ότι η πρώτη σημαντική μετάφραση των Στοιχείων στα αγγλικά έγινε από τον Sir Henry Billingsley. Η έκδοση αυτή έγινε στο Λονδίνο το 1570 και είχε εισαγωγή από τον John Dee. Ο τίτλος της έκδοσης είναι: THE ELEMENTS OF GEOMETRIE of the most ancient Philosopher EUCLIDE of Megara. Εδώ βέβαια υπάρχει σύγχυση ανάμεσα στον Ευκλείδη από την Αλεξάνδρεια και σε αυτόν από τα Μέγαρα. Ο Sir Henry Billingsley είχε διατελέσει και Δήμαρχος του Λονδίνου, γι’ αυτό η έκδοση έγινε διάσημη και λαοφιλής. Το πιο πιθανό, κατά τους σχολιαστές, είναι ότι ο Coleridge είχε υπόψη του αυτή ακριβώς την έκδοση.  

 

(β) Σχόλιο για τη Διδακτική Πράξη

 

Σε σχολεία στην Αγγλία και την Αμερική, στο μάθημα των Μαθηματικών, αφού δοθεί, σε Φύλλο Εργασίας, η επιστολή του Coleridge στον αδελφό του και το ποίημα, ζητούνται τα εξής:   

(i) Define what is meant by an equilateral triangle, [5]

(ii) Detail with illustrations how to construct an equilateral triangle, [10]

(iii) Give proof that this construction produces an equilateral triangle, [25],

με τα αντίστοιχα μόρια για κάθε ερώτηση να σημειώνονται δίπλα.

 

Στην Ελλάδα μπορεί, στα πλαίσια της Διαθεματικότητας/ Διεπιστημονικότητας, να υπάρξει συνεργασία διδασκόντων, για παράδειγμα φιλολόγου, μαθηματικού, ξένης γλώσσας (αγγλικών), πληροφορικής, και εκτός από τα πιο πάνω ερωτήματα να τεθούν και άλλα, όπως:

(i) Ποιος ήταν ο Coleridge και η εποχή του,    

(ii) Το Ρομαντικό Κίνημα,

(iii) Τι ήταν ο Πίνδαρος και οι Πινδαρικές Ωδές,

(iv) Ποια είναι η Πρόταση 1 των Στοιχείων του Ευκλείδη,

(v) Όλα τα σχετικά Μαθηματικά (ορισμός, κατασκευή, απόδειξη για το ισόπλευρο τρίγωνο),

(vi) Ποια η συμβολή των Στοιχείων στον πολιτισμό,

(vii) Μετάφραση της επιστολής και του ποιήματος του Coleridge στα ελληνικά,

(viii) Συζήτηση και κριτική της απόπειρας του Coleridge κτλ.

Εννοείται ότι αυτή η διδασκαλία γίνεται ομαδοσυνεργατικά/ ερευνητικά  και απαιτεί μερικές διδακτικές ώρες, αλλά έτσι μαθαίνουν οι άνθρωποι και αλλάζουν και όχι ‘παπαγαλίζοντας’ πληροφορία που βρίσκεται ήδη στο Διαδίκτυο. Το θέμα είναι πώς θα ολοκληρώσουμε την πληροφορία και θα τη μετατρέψουμε σε γνώση.

 

Σημείωση Τέλους

 

Δεν είμαι μελετητής του Coleridge και δεν ασχολούμαι με τη δυσκολία που, όπως λένε οι σχολιαστές, παρουσιάζει γενικά η ποίησή του. Η απόδοση στα ελληνικά του συγκεκριμένου ποιήματος υπήρξε προβληματική λόγω των αρχαϊσμών, των αρχαϊκών και συγκοπτόμενων τύπων, της χρονικής απόστασης, της διαφορετικής εποχής˙ κυρίως όμως λόγω της άτεχνης ποίησης και του μπερδέματος της Πρότασης του Ευκλείδη με άσχετα στοιχεία, τα οποία δεν γνωρίζω γιατί τα ενέπλεξε με τα Μαθηματικά. Για να μην χάνουμε όμως τον στόχο, υπενθυμίζω ότι το θέμα της έρευνας είναι ‘τα Μαθηματικά στην Ποίηση’ και η ‘Ποίηση η εμπνεόμενη από τα Μαθηματικά’. Θα τολμούσα να πω ότι, αν επρόκειτο να παρουσιάσει με τέτοια ποιήματα τα Στοιχεία, τότε καλύτερα που δεν συνέχισε αυτό το έργο, όπως είχε προαναγγείλει. Πάντως, πρόκειται πράγματι και για Μαθηματικά στην Ποίηση και για Ποίηση εμπνεόμενη από τα Μαθηματικά, οπότε καλώς το συγκεκριμένο ποίημα περιελήφθη σε αυτή την έρευνα˙ άλλωστε το ίδιο έχουν κάνει και άλλοι μελετητές διεθνώς, μόνο που, κατά την άποψή μου, πρόκειται για αποτυχημένη προσπάθεια: πολύ μπλέξιμο για ένα τόσο απλό και καθαρό μαθηματικό θέμα. Μοναδικό μέλημά μου ήταν να αποδώσω το νόημα/ σημασία  όσο πιο απλά γίνεται και όχι κάποια ‘ποιητικά’ στοιχεία. Ρητορικό ερώτημα: τι θα έλεγε άραγε ο ίδιος ο Ευκλείδης, αλλά και ο Πίνδαρος, για το φιλόδοξο σχέδιο του Coleridge;

 

Πηγές Πληροφορίας

 

• Burke, E. (1757). A Philosophical Inquiry into the Origin of our Ideas of the Sublime and Beautiful. Simon & Brown (reprint 2013).

• Coleridge, S. T. (1840). The poetical works. Vol. 1. W. Pickering, London.

• Glaz, S. (2011). Poetry inspired by mathematics: a brief journey through history. Journal of Mathematics and the Arts, 5(4), 171-183.

• Tiefert, M. A. (1994).The Samuel Taylor Coleridge archive, Electronic Text Center, University of Virginia. http://etext.virginia.edu/stc/Coleridge/ascii_files/ geometry_poem_letter.html.

• Werkmeister, L. (1959). Coleridge’s “Mathematical Problem”. Modern Language Notes, 74, No. 8 (Dec.), pp. 691-693.

• Σταμάτης, Ε. (1952). Ευκλείδου, Γεωμετρία, Στοιχείων Βιβλία 1,2,3,4, Τόμος Ι. ΟΕΔΒ, Αθήνα.