Δίνουμε εδώ μικρό δείγμα από το πλούσιο υλικό που υπάρχει σε αυτό τον τομέα, καθώς επίσης και σχόλια για τη μαθησιακή χρήση του.
- Miroslav Holub: Ο Μάγος Τσίτο
Για να διασκεδάσει την Αυτού Μεγαλειότητα τον Βασιλέα
κάνει το νερό κρασί.
Τους βατράχους υπηρέτες. Τα σκαθάρια δικαστικούς. Και
βγάζει έναν Υπουργό
από έναν αρουραίο. Υποκλίνεται και ξεπετιούνται μαργαρίτες
από τ’ ακροδάχτυλά του.
Κι ένα φλύαρο πουλί κάθεται στον ώμο του.
Εκεί.
Σκέψου κάτι άλλο, απαιτεί η Αυτού Μεγαλειότητα ο Βασιλεύς.
Σκέψου ένα μαύρο αστέρι. Και σκέφτεται ένα μαύρο αστέρι.
Σκέψου στεγνό νερό. Και σκέφτεται στεγνό νερό.
Σκέψου ένα ποτάμι δεμένο με αχυρένια σχοινιά. Και το σκέφτεται.
Εκεί.
Τότε σπεύδει ένας σπουδαστής και ζητά: Σκέψου ημίτονο
άλφα μεγαλύτερο από το ένα.
Και ο Τσίτο χλομιάζει και θλίβεται: Να τον συγχωρούνε πολύ.
Το ημίτονο είναι
μεταξύ συν ένα και πλην ένα. Δε γίνεται τίποτα με αυτό.
Και αφήνει τη μεγάλη βασιλική αυτοκρατορία, ήσυχα υφαίνει
το δρόμο του
μέσα από το πλήθος των αυλικών, τραβάει για το σπίτι του
γρήγορα.
Σχόλιο: Χρησιμοποιείται ένας ‘νόμος’ των Μαθηματικών -το ημίτονο είναι μεταξύ συν ένα και πλην ένα- και ενώ ο μάγος μπορεί να σκεφτεί οτιδήποτε, ακόμα και αντιφατικό, δεν μπορεί να σκεφτεί κάτι που πάει ενάντια στον νόμο αυτό. Γιατί; Ο μελετητής πρέπει να γνωρίζει και να χρησιμοποιεί αυτό τον νόμο, αλλά πρέπει να κατανοεί υπό ποιες συνθήκες ισχύει αυτός και τη διαφορά του από τον ‘περιορισμό’.
* *
- Hans Magnus Enzensberger: Τιμή στον Gödel
«Σύρε τον εαυτό σου από τα μαλλιά
έξω από το τέλμα»: το Θεώρημα του Münchhausen
είναι γοητευτικό, αλλά μην ξεχνάς:
ο Βαρόνος ήταν μεγάλος ψεύτης.
Το θεώρημα του Gödel μπορεί να φαίνεται, σε πρώτη ματιά,
μάλλον απερίγραπτο,
αλλά παρακαλώ θυμήσου:
ο Gödel έχει δίκιο.
«Σε κάθε επαρκώς πλούσιο σύστημα
είναι δυνατό να σχηματίζονται δηλώσεις
που δεν μπορούν ούτε να αποδειχτούν
ούτε να απορριφθούν μέσα στο σύστημα
εκτός αν το σύστημα καθαυτό είναι ασυνεπές».
Μπορείς τη γλώσσα σου να περιγράψεις
με τη γλώσσα σου:
μα όχι εντελώς.
Μπορείς τον εγκέφαλό σου να εξερευνήσεις
με τρόπους του εγκεφάλου σου:
μα όχι εντελώς.
κτλ.
Για να αποδείξει την αλήθεια
κάθε κατανοητό σύστημα
πρέπει να υπερβεί τον εαυτό του, και αυτό σημαίνει
να τον καταστρέψει.
«Επαρκώς πλούσιο» ή όχι:
Η ελευθερία από αντιφάσεις
είναι είτε σύμπτωμα ανεπάρκειας,
ή ισοδυναμεί με αντίφαση.
(Βεβαιότητα = Ασυνέπεια)
Οποιοσδήποτε πιθανός ιππέας,
περιλαμβανομένου του Münchhausen,
περιλαμβανομένου του εαυτού σου, είναι υποσύστημα
ενός επαρκώς πλούσιου τέλματος.
Και υποσύστημα αυτού του υποσυστήματος
είναι τα δικά σου μαλλιά,
αγαπημένος ανυψωτήρας
ρεφορμιστών και ψευτών.
Σε οποιοδήποτε επαρκώς πλούσιο σύστημα
περιλαμβανομένου του παρόντος τέλματος
είναι δυνατές δηλώσεις
που δεν μπορεί ούτε να αποδειχθούν
ούτε να απορριφθούν μέσα στο σύστημα.
Αυτές είναι οι δηλώσεις
να τις αρπάξεις, και να τραβήξεις!
Σχόλιο: Ο ποιητής αναφέρεται στο θεώρημα της μη-πληρότητας του Gödel, που το απέδειξε το 1931 και επέφερε μεγάλο πλήγμα στο πρόγραμμα του Hilbert για τη θεμελίωση των Μαθηματικών. Το θεώρημα λέει ότι σε ένα σύστημα υπάρχουν προτάσεις που δεν μπορούν να αποδειχτούν ούτε ότι είναι αληθείς ούτε ψευδείς και επομένως είναι ‘αναποφάσιστες’. Πώς χρησιμοποιεί ο ποιητής το θεώρημα για να προβάλει κάποιες κοινωνικές απόψεις; Τι ακριβώς λέει το θεώρημα και ποιες επιπτώσεις είχε στα Μαθηματικά; Ποιο ήταν το πρόγραμμα του Hilbert;
* *
- Rita Dove: Γεωμετρία
Αποδεικνύω ένα θεώρημα και το σπίτι διαστέλλεται:
τα παράθυρα τινάζονται απότομα και αιωρούνται κοντά στο ταβάνι
με αναστεναγμό το ταβάνι απογειώνεται.
Καθώς οι τοίχοι διώχνουν από πάνω τους τα πάντα
εκτός από τη διαφάνεια, κρατούν την ευωδιά
των γαριφάλων. Βρίσκομαι έξω στο ύπαιθρο.
Ψηλά οι μεντεσέδες των παράθυρων γίνονται πεταλούδες
εκεί που τέμνονται λαμπυρίζει το φως του ήλιου.
Πορεύονται προς κάποιο σημείο αληθές και αναπόδεικτο.
Σχόλιο: Έχουμε την περιγραφή του πώς νιώθει κάποιος που αποδεικνύει ένα θεώρημα στη Γεωμετρία. Πώς παρουσιάζει η ποιήτρια αυτή την αίσθηση; τι νιώθει ότι συμβαίνει γύρω της; Να συγκριθεί με αντίστοιχες ιστορικές απόψεις μαθηματικών όπως των Cantor, Gauss, Poincare. Στο τέλος μιλάει για το αναπόδεικτο του αληθούς, όπως προηγουμένως ο Gödel –τι σημαίνει αυτή η συνειδητοποίηση;
* *
- Vachel Lindsay: Ευκλείδης
Ο γερο-Ευκλείδης χαράζει πριν χρόνια
ένα κύκλο στην αμμουδερή ακρογιαλιά.
Τον περιβάλλει και τον κλείνει μέσα
σε γωνίες και άλλα τέτοια.
Η ομάδα των σοβαρών γερόντων
νεύει και διαφωνεί έντονα
για τόξα και περιμέτρους
διαμέτρους και άλλα τέτοια.
Δίπλα τους στέκεται όλο το πρωινό
αμίλητο ένα παιδί
γιατί φτιάχνουν τόσο χαριτωμένες
εικόνες στρογγυλές του φεγγαριού.
Σχόλιο: Η αντίληψη του παιδιού για τα γεωμετρικά σχήματα είναι διαφορετική από αυτή των μαθηματικών. Το παιδί αντιλαμβάνεται μόνο την αισθητική πλευρά των σχημάτων που τα εκλαμβάνει ως «χαριτωμένες εικόνες στρογγυλές του φεγγαριού» και αυτό είναι που το κάνει να «στέκεται όλο το πρωινό αμίλητο» και να παρακολουθεί. Τι προκύπτει από αυτό το ποίημα για την πρόσληψη των Μαθηματικών;
* *
- Wislawa Szymborska: Πι
Ο αξιοθαύμαστος αριθμός πι:
τρία κόμμα ένα τέσσερα ένα.
Όλα τα επόμενα ψηφία είναι επίσης αρχικά
-πέντε εννιά δύο- γιατί δεν τελειώνει ποτέ.
Δεν μπορεί να κατανοηθεί -έξι πέντε τρία πέντε- με μια ματιά
-οχτώ εννιά- με υπολογισμό
-εφτά εννιά- ή φαντασία
ούτε ακόμα -τρία δύο τρία οχτώ- με ευστροφία, δηλαδή σε σύγκριση
-τέσσερα έξι- με οτιδήποτε άλλο
-δύο έξι τέσσερα τρία- στον κόσμο.
Το μακρύτερο φίδι στη γη φτάνει περίπου στα σαράντα πόδια.
Όμοια, φίδια μύθων και θρύλων, αν και κείνα μπορεί να
είναι λίγο μακρύτερα.
Η αναπαράσταση των ψηφίων του αριθμού πι
δεν σταματάει στο τέλος της σελίδας.
Συνεχίζεται κατά μήκος του τραπεζιού, στον αέρα, στον τοίχο,
σ’ ένα φύλλο, τη φωλιά ενός πουλιού, τα σύννεφα, κατευθείαν στο διάστημα
μέσα από όλους τους άβυθους φουσκωμένους ουρανούς.
Πόσο μικρή -μια ποντικοουρά, μια γουρουνοουρά- είναι η ουρά ενός κομήτη!
Πόσο αδύναμη η αχτίνα ενός αστεριού που λυγίζει πέφτοντας στον χώρο!
Ενώ εδώ έχουμε -δύο τρία δεκαπέντε τρία εκατό δεκαεννιά-
το νούμερο του τηλεφώνου μου το νούμερο του πουκαμίσου σου
το έτος 1973 τον έκτο όροφο
τον αριθμό των κατοίκων εξήντα πέντε σεντς
την περιφέρεια των γοφών δυο δάχτυλα κοροϊδία ένα κώδικα
στον οποίο βρίσκουμε χαίρε εσύ, αμέριμνο πνεύμα, πτηνό που ποτέ δεν υπήρξες
δίπλα σε κυρίες και κύριοι δεν υπάρχει λόγος να ανησυχείτε
όπως και ο ουρανός και η γη θα καταστραφούν
αλλά όχι ο αριθμός πι, όχι, μην κάνοντας τίποτα
παραμένει με το μάλλον αξιοσημείωτο πέντε του
το ασυνήθιστα φίνο οχτώ του
το πολύ απομακρυσμένο από το τέλος εφτά του
σκουντώντας, πάντα σκουντώντας μια καθαρή αιωνιότητα
να συνεχίσει.
Σχόλιο: Ποιητική περιγραφή του γνωστού αριθμού π=3,141 κτλ. ο οποίος δεν τελειώνει ποτέ. Πώς εκλαμβάνει η ποιήτρια το π; ποια μέσα χρησιμοποιεί για να το παρουσιάσει; με τι το συγκρίνει;
* *
- JoAnne Growney: Ο Χορός μου Είναι τα Μαθηματικά
Κάτω, κάτω, κάτω στα σκοτάδια του τάφου
απαλά πηγαίνουν, το όμορφο, το ευαίσθητο, το ευγενικό.
Ήσυχα πηγαίνουν το έξυπνο, το πνευματώδες, το γενναίο.
Το ξέρω, αλλά δεν το εγκρίνω. Και δεν παραιτούμαι.
[Από το «Ελεγείο χωρίς Μουσική» της Edna St. Vincent Millay αφιερωμένο από τον Hermann Weyl στην επιμνημόσυνη τελετή για την Amalie Emmy Noether στις 26 Απριλίου 1935 στο Bryn Mawr College].
b
Σε αποκαλούσαν ο Noether λες και τα Μαθηματικά
είναι μόνο για άντρες. Το 1964, σχεδόν τριάντα χρόνια
από τον θάνατό σου, επιτέλους σε είδα σε μια διαφήμιση
στην παγκόσμια γιορτή στη Νέα Υόρκη
με τίτλο «Πρόσωπα των Σύγχρονων Μαθηματικών».
Οι συνάδελφοι εγκωμίαζαν την ευφυία σου, αφού πρώτα είχαν πει
ότι ήσουν χοντρή και συνηθισμένη, άξεστη και θορυβώδης.
Κάποιοι ανέφεραν την ευγένεια και το καλό σου χιούμορ
αλλά μόνο στο τέλος παραδέχονταν τον αποφασιστικό ρόλο σου
στη δημιουργία της Αξιωματικής Άλγεβρας.
Γελώντας διηγούνται μια ιστορία του 1890
όταν ήσουν οχτώ χρονών. Σε ένα πάρτι γενεθλίων
ανάγγειλες τη λύση ενός δύσκολου μαθηματικού γρίφου.
Εκείνη την ημέρα ξεχώρισες
ως κάποιος που θα ακολουθούσα.
Καθώς σε παρακολουθούσα, είδα ότι έπρεπε να διαλέξεις
μεταξύ των Μαθηματικών και κάποιου άλλου έρωτα.
Αν και οι άντρες θα μπορούσαν να κάνουν και τα δυο
για σένα ίσχυε διαφορετικό κριτήριο.
Άκουσα πατεράδες να λένε χόρεψε με την Έμμυ. Κάνε το νωρίς
το βράδυ και δεν θα περιμένει από σένα
να μείνεις μαζί της. Ο Μαξ είναι ευγενικός και καλός φίλος
και της κόρης του της αρέσει να χορεύει.
Αν ο χορός μιας γυναίκας είναι τα Μαθηματικά
πρέπει να χορεύει μόνη;
Άκουσα μανάδες να λένε μην την πειράζετε.
Αν και η Έμμυ είναι παράξενη, η καρδιά της είναι ευγενική.
Βοηθάει τη μητέρα της να καθαρίσει το σπίτι
και δεν φταίει αυτή που έχει μαθηματικό μυαλό.
Οι δάσκαλοι έλεγαν, είναι έξυπνη
αλλά μάλλον επίμονη, καβγατζού και θορυβώδης
και σκέπτεται αφηρημένα όχι σαν κι εμάς
δεν προτίθεται να ασπαστεί τις ιδέες μας.
Οι φοιτητές έλεγαν, είναι δύσκολο
να την παρακολουθήσω, τη βαριέμαι. Λίγοι στις μπροστινές σειρές
την είδαν να ασχολείται με μια ζωτική έρευνα-
την έφτιαξαν αυτοί ενώ στηρίζονταν στους ώμους της.
Η αφηρημένη αξιωματική άποψη της Emmy Noether
άλλαξε το πρόσωπο της Άλγεβρας.
Μας βοήθησε να σκεφτούμε με απλούς όρους
που άνθισαν στη γενικότητά τους.
Παρά τις ικανότητες της Έμμυ
πάντα υπήρχαν λόγοι
να μην της δίνουν θέσεις
ή μόνιμη απασχόληση.
Είναι ειρηνίστρια, γυναίκα.
Είναι γυναίκα και εβραία.
Δεν σκέφτεται όπως εμείς.
Τα βιβλία ιστορίας λένε τώρα ότι η Noether
είναι η μεγαλύτερη μαθηματικός
που έβγαλε το φύλο της.
Λένε ότι για γυναίκα ήταν πολύ καλή.
Ευθύς και με θάρρος
με αυταπάρνηση
ωραίο μυαλό
καλοαναθρεμμένη και ευγενική
μια ηθική παρηγοριά
σε δύσκολη εποχή
μια ποιήτρια λογικών ιδεών.
Αν ο χορός μιας γυναίκας είναι τα Μαθηματικά
πρέπει να χορεύει μόνη;
Τιμή σε σένα Emmy Noether.
Προσκάλεσε ένα μαθηματικό σε χορό.
Σχόλιο: Η ποιήτρια είναι και μαθηματικός. Παρουσιάζει το πορτρέτο μιας μεγάλης μαθηματικού, της Emmy Noether, και παράλληλα θέτει διάφορα προβλήματα που έχουν οι γυναίκες μαθηματικοί σε σχέση με τους άντρες. Ποιο ήταν το έργο της Noether; ποια η αντιμετώπισή της από τους άλλους μαθηματικούς; τι συμπεράσματα βγαίνουν από αυτή τη στάση για τις πεποιθήσεις για τα Μαθηματικά;
* *
Γενικότερα μπορούν να τεθούν ερωτήματα όπως: Πώς μπορεί η μελέτη τέτοιων ποιημάτων να επιδράσει θετικά στη στάση και τις πεποιθήσεις των μελετητών στο γνωστικό αντικείμενο των Μαθηματικών; Τι εμπνέει τους ποιητές να γράφουν ποιήματα για τα Μαθηματικά; Υπάρχει εναλλακτική άποψη για τα Μαθηματικά εκτός από την τρέχουσα και ποια είναι αυτή; Προκύπτει από τη μελέτη των ποιημάτων; Τι μπορεί να μάθει κάποιος διαβάζοντας μαθηματική ποίηση; Αλλάζει η αντίληψή μας και για την ποίηση, πέρα από τα Μαθηματικά;
